C 和位运算的数学方程？

例如，在左移操作中

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5除特殊情况外，在其他数学运算中不可能描述位运算

2n-1的and运算与2n的模运算相同。逆为2n-1的and运算可以看作是2n的除法、截断和相乘。
这取决于“数学方程”的含义。没有简单的算术题

如果你从形式数论的角度来看，你可以只使用加法、乘法和一阶谓词逻辑来描述按位的“and”（and）“or”和“xor”）。但这肯定不是你的意思，因为这些工具足以描述计算机所能做的任何事情。
没有简单的单一操作可以映射到每一个按位操作。然而，它们都可以通过迭代方法（或一个很长的公式）进行模拟

可通过以下方式完成：

(((a/1 % 2) * (b/1 % 2)) * 1) +
(((a/2 % 2) * (b/2 % 2)) * 2) +
(((a/4 % 2) * (b/4 % 2)) * 4) +
...
(((a/n % 2) * (b/n % 2)) * n)

式中，n是A和B组成的位数的2减去1。这假设整数除法（余数被丢弃）。
这取决于你所说的“数学”是什么意思。如果你在寻找简单的学校代数，那么答案是否定的。但数学不是神圣的——数学家一直在定义新的运算和概念

例如，您可以将32位数字表示为32个布尔的向量，然后在其上定义“and”运算，在其相应元素之间执行标准布尔运算。“and”运算。这里有一个证明，对于2位按位运算，您不能用
只需
+
-

和

*

（检查一下，现在刚想出来，谁知道呢）：

问题是，我们能找到一个多项式吗

x & y == P(x, y)

在哪里

下面是它的外观：

   0 1 2 3
  --------
0| 0 0 0 0
1| 0 1 0 1
2| 0 0 2 2
3| 0 1 2 3

首先，显然

a0_0==0

。接下来您可以看到，如果

P

是 重写：

                     |------- Q(x, y) --------|
P(x, y) = xy*R(x,y) + a1_0*x + a0_1*y + ...

而

y

保持为0，而

x

在0、1、2、3上变化；那么Q（x，y）对于 这些价值观中的每一个。同样，如果

x

保持为0且

y

变化。所以

Q（x，y）

可以设置为0而不丧失通用性

但是现在，由于

p（2，2）=2

，但是

2*2==0

，多项式

p

不能 存在

我认为这也会推广到更多的比特

所以答案是，如果你只是在寻找

+

，

*

和

-

，不，你不能这样做

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是的，它们是总和。考虑一个长度为n的二进制字。它可以写为：； A=a0*2^0+a1*2^1+a2*2^3…an*2^n。其中an是{0,1}的元素

因此，如果a是a中的一位，bn是B中的一位，那么； AandB=a0*b0*2^0+a1*b1*2^1…和*bn*2^n 同样地 AxorB=（a0+b0）mod2*2^0+（a1+b1）mod2*2^1…+（an+bn）mod2*2^n

现在考虑一下身份； Axor1=notA

我们现在有了我们需要的三个运算符（按位AND、按位XOR和按位NOT）

从这两个我们可以做任何我们想要的

例如，按位或

非[（notA）和（notB）]=非[非（AorB）]=AorB

但它并不一定是漂亮的

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在回应关于mod2算法不是很基本的评论时，从某种意义上说这是正确的。然而，尽管由于当今计算机的普及，这一点很普遍，但我们在这里讨论的整个主题并不是特别“基本”。OP抓住了一些基本的东西。在被称为“抽象代数”的数学领域中，有一些有限的代数结构，例如模n的加法和乘法（其中n是一些数字，如2、8或2^32）。还有其他使用二进制运算的结构（加法是一种二进制运算，它需要两个操作数并产生一个结果，就像乘法和xor一样），例如xor、and、位移位等，它们“同构”于整数mod n上的加法和乘法。这意味着它们的行为方式相同，它们是关联的、分布的等等（尽管它们可能是交换的，也可能不是交换的，想想矩阵乘法）很难告诉某人从哪里开始寻找更多信息。我想最好的办法是从一本关于形式数学的书开始。（数学证明）你需要它来理解任何高等数学文本。然后是一篇关于抽象代数的文章。如果你是计算机科学专业的学生，你会在课堂上学到很多。如果你是一名数学专业的学生，你会及时深入地学习这些东西。如果你学的是历史专业，我不是在敲历史，我是历史频道的瘾君子，但是你应该换专业，因为你浪费了你的才能

你可能会发现以下有趣的相关问题：什么都没想到。显然，可以对按位或操作数没有共同的1位使用加法，也可以循环使用能够隔离单个位的算术，但我不知道有什么可以实现“并行”，例如（在我的时代，我发明的技巧不止这些）用位运算定义算术运算要容易得多。事实上，这就是CPU设计者所做的。（我确信这是一个严重的过度简化。）我用它来快速计算：嗯，你是不是假设基本的算术运算必须是模2^n？这不是一个非常基本的“数学”假设，但除此之外，你的“2*2==0”主张似乎没有意义。@Henning哦，是的，我是这样假设的。我认为这是因为它们在计算机上就是这样工作的。嗯，它们可能只是指数学上的加法、减法等等。类似地，对于位运算符，可以用与有限宽度整数相同的方式定义无限精度整数。好吧，我想这将是一个不同的证明：）但是（我刚才想到的）对于这种情况实际上更简单：

   0 1 2 3
  --------
0| 0 0 0 0
1| 0 1 0 1
2| 0 0 2 2
3| 0 1 2 3

                     |------- Q(x, y) --------|
P(x, y) = xy*R(x,y) + a1_0*x + a0_1*y + ...