Coq 我可以介绍声音构造器等价吗？

假设我有一个

归纳的
类型

Inductive foo :=
  | a : foo
  | b : foo
  | c : foo.

但我真正想要的是用
c
来“识别”
b
——也就是说，我希望能够将它们视为书写同一事物的两种不同方式——并且能够将其中一种重写为另一种

我可以把它作为一条公理来介绍：

Axiom b_equiv_c : forall P : foo -> Prop, P b <-> P c.

然后让我来定义一个命题是否定义得很好

Definition wd_wrt_equiv_foo (P : foo -> Prop) : Prop :=
  forall f f' : foo, equiv_foo f f' -> (P f <-> P f').

definitionwd_wrt_equiv_foo（P:foo->Prop）：Prop:=
forall f'：foo，equiv_foo f'->（P f P f'）。

但这是令人不快的。这意味着，对于我自己的归纳定义命题，我需要添加一个额外的构造函数，使用
equiv_foo
来证明良定义属性。（我怀疑仅仅为某个命题主张上述属性是不合理的。）

我能不能告诉Coq“这个东西，以及使用它构造的任何东西，可能不是内射的”
至少从您描述的情况来看，您当前使用等价关系的解决方案似乎是最好的解决方案

这看起来像是商类型或同伦类型理论的一个用例，但我不知道将此类系统与Coq集成有什么作用。
为什么不将
c
定义为
符号或
定义
用于
b
？实际问题稍微复杂一些。我有一个
归纳的
，它只是一个枚举，还有一个
归纳的
，有两个构造函数包装该枚举。对于一些枚举值，我希望这两个构造函数是等价的。这不是最后一句话，因为商和HoTT似乎都是Coq中活跃的开发领域。希望在几个月后，有一种方法能够在不使用setoid或等效构造的情况下真正实现这一点。
Inductive equiv_foo : foo -> foo -> Prop :=
  | equiv_foo_refl (f : foo) : equiv_foo f f
  | equiv_foo_sym (f f' : foo) : equiv_foo f f' -> equiv_foo f' f
  | equiv_foo_b_c : equiv_foo b c.

Definition wd_wrt_equiv_foo (P : foo -> Prop) : Prop :=
  forall f f' : foo, equiv_foo f f' -> (P f <-> P f').