证明（~A->；~B）>；（~A->；B）——>；Coq中的A

我一直在努力证明Coq中的以下重言式

Theorem Axiom3: forall A B: Prop, (~A -> ~B)-> ((~A -> B) -> A).

我的计划是做以下事情

Theorem Axiom3: forall A B: Prop, (~A -> ~B)-> ((~A -> B) -> A).
Proof.
  intros A B.
  unfold not.
  intros nA_implies_nB.
  intros nA_implies_B.
  pose (proof_of_False := nA_implies_nB nA_implies_B).
  case proof_of_False.
Qed.

然而，以下是我的问题所在

 pose (proof_of_False := nA_implies_nB nA_implies_B).

我不能简单地将以下内容组合在一起来证明错误

nA_implies_nB : (A -> False) -> B -> False
nA_implies_B : (A -> False) -> B

---

我的证明可以用来证明或纠正这个定理吗？或者有一种简单的方法来证明这个定理吗？

这句话相当于排除中间原则，即

A\/~A

适用于任何命题

A

。被排除在外的中间因其在Coq和其他基于构造数学的系统中的缺失而臭名昭著。为了证明Coq中的陈述，您必须明确声明您想要假设非建设性推理

Require Import Coq.Logic.Classical.

Theorem Axiom3: forall A B: Prop, (~A -> ~B)-> ((~A -> B) -> A).
Proof. intros A B. tauto. Qed.

如果您注释掉第一行，您将看到证明失败，因为Coq不会尝试在证明中使用排除的中间部分

如果您感到好奇，这里有一个更明确的证据证明

Axiom3

如何暗示排除的中间：

Axiom Axiom3: forall A B: Prop, (~A -> ~B)-> ((~A -> B) -> A).

Lemma classical : forall A : Prop, A \/ ~ A.
Proof.
intros A.
apply (Axiom3 (A \/ ~A) (A \/ ~A)).
- trivial.
- intros H. exfalso.
  assert (H' : ~ ~ A).
  { intros HA. apply H. right. trivial. }
  apply H'. intros HA. apply H. left. trivial.
Qed.

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在证明这个公理是经典的过程中，可能更容易通过双重否定消去法（即选择

B=False

）。