利用Coq场公理

我正在使用Coq字段模块进行实验，试图直接从字段公理证明以下简单恒等式：

对于所有v，0v==v

。我看到

0

和

=

都有现有的符号，所以我尝试了这个（但失败）：

我收到了以下错误消息：

Unknown scope delimiting key R_scope.

当我看到，

R\u范围

肯定在那里，

---

所以我肯定遗漏了什么。

事实上，这些符号在一个部分中，这意味着它们无法从外部获得

此外，所有这些定义都是由字段结构参数化的，因此如果您想证明关于字段的一般结果，您需要在本地声明（或实例化）这些参数

我不确定它是否真的应该这样使用。我的建议是在Github上打开一个问题，询问setoid_环插件的用途

Require Import Coq.setoid_ring.Field_theory.
Require Import Coq.setoid_ring.Ring_theory.
Require Import Setoid.

Section MyFieldTheory.

(* Theory parameterized by a field R *)
Variable (R:Type)
         (rO:R) (rI:R)
         (radd rmul rsub : R -> R -> R)
         (ropp : R -> R)
         (rdiv : R -> R -> R)
         (rinv : R -> R)
         (req : R -> R -> Prop)
.
Variable Rfield : field_theory rO rI radd rmul rsub ropp rdiv rinv req.
Variable Reqeq : Equivalence req.
Variable Reqext : ring_eq_ext radd rmul ropp req.

(* Field notations *)
Notation "0" := rO : R_scope.
Notation "1" := rI : R_scope.
Infix "+" := radd : R_scope.
Infix "*" := rmul : R_scope.
Infix "==" := req : R_scope.

(* Use these notations by default *)
Local Open Scope R_scope.


(* Example lemma *)

Lemma mul_0_l: forall v, (0 * v == 0).
Proof.
  intros v.
  apply ARmul_0_l with rI radd rsub ropp.
  apply F2AF, AF_AR in Rfield; auto.
Qed.

---

关于符号 请注意，引号是

表示法

/

中缀

命令语法的一部分

Infix "+" := radd : R_scope.

您现在可以只写

x+y

，不加引号

将作用域分配给您的符号（例如，通过上面的

：R\u scope

注释）是一种很好的做法，因为这样可以实现消除同一符号不同含义歧义的机制。特别是，提供符号的主要两种方法是：

• 本地打开范围R\u范围。

  使所有

  R\u范围

  符号可用于当前文件

• Bind Scope R\u Scope with which.

  将定界键

  which

  与作用域

  R\u Scope

  关联。定界键是在

  %

  符号之后打开给定表达式中的作用域的键，因此您可以编写

  （0==0*v）%whatever

  ，无论

  R\u作用域

  以前是否使用

  本地打开作用域

  打开

以下是一个基于@Li yao Xia的（失败的）尝试：

(***********)
(* IMPORTS *)
(***********)
Require Import Coq.setoid_ring.Field_theory.
Require Import Coq.setoid_ring.Ring_theory.

(**********)
(* SCOPES *)
(**********)
Delimit Scope R_scope with ring.

(************)
(* SECTIONS *)
(************)
Section MyFieldTheory.

(* Theory parameterized by a field R *)
Variable (R:Type)
         (rO:R) (rI:R)
         (radd rmul rsub : R -> R -> R)
         (ropp : R -> R)
         (rdiv : R -> R -> R)
         (rinv : R -> R)
         (req : R -> R -> Prop)
.
Variable Rfield : field_theory rO rI radd rmul rsub ropp rdiv rinv req.

(*******************)
(* Field notations *)
(*******************)
Notation "0" := rO   : R_scope.
Notation "1" := rI   : R_scope.
Infix    "+" := radd : R_scope.
Infix    "*" := rmul : R_scope.
(*******************)
(* Field notations *)
(*******************)
Infix "==" := req (at level 70, no associativity) : R_scope.

(* Use these notations by default *)
Local Open Scope R_scope.


(* Example lemma *)

Lemma mul_0_l: forall v, (0 * v == 0).
Proof.
  intros v.
  apply ARmul_0_l with rI radd rsub ropp.
  apply Rfield.

在我的假设中：

Rfield : field_theory 0 1 radd rmul rsub ropp rdiv rinv req

目标是：

almost_ring_theory 0 1 radd rmul rsub ropp req

我想一定有这样的说法：

场理论->几乎环理论

。 但是当我尝试

应用Rfield

时，我得到了：

In environment
R : Type
rO, rI : R
radd, rmul, rsub : R -> R -> R
ropp : R -> R
rdiv : R -> R -> R
rinv : R -> R
req : R -> R -> Prop
Rfield : field_theory 0 1 radd rmul rsub ropp rdiv rinv req
v : R
Unable to unify "field_theory 0 1 radd rmul rsub ropp rdiv rinv req" with
 "almost_ring_theory 0 1 radd rmul rsub ropp req".

---

…

0v=v

？你是说

0v=0

1v=v

？@HTNW谢谢，我修正了打字错误。。。这是

0v==0

我仍然对

“0”

说：

没有对字符串“0”的解释有问题。

这里实际上有几个问题。一个是这些符号实际上是不可用的，另一个是在符号中使用双引号存在混淆。我更新了我的答案以提供更多的细节。我将我的尝试作为一个单独的答案发布，但我仍然无法使它起作用：（（我更新了我的答案，并提供了完整的证据。我需要添加以下假设：

req

是一个等价（

equality req

）并且它与字段/环运算（

ring\u eq\u ext

）是一致的），然后转换字典的引理是

F2AF

和

AF_AR

（这里很可能还有其他可能的引理序列）。我尝试

在Rfield中应用SF2AF

，但没有起作用：

无法应用类型为“forall（R:type）（rO-rI:R）（radd-rmul-rdiv:R->R->R->R）（rinv:R->R）的引理（需求：R->R->Prop），关系类。等价需求->半场理论rO rRadd rmul rdiv rinv需求->几乎场理论rO rRadd rmul（SRsub radd）（SRopp（R:=R））rdiv rinv需求“关于“场理论0 1 rDul rsub ropp rdiv rinv需求”类型的假设
In environment
R : Type
rO, rI : R
radd, rmul, rsub : R -> R -> R
ropp : R -> R
rdiv : R -> R -> R
rinv : R -> R
req : R -> R -> Prop
Rfield : field_theory 0 1 radd rmul rsub ropp rdiv rinv req
v : R
Unable to unify "field_theory 0 1 radd rmul rsub ropp rdiv rinv req" with
 "almost_ring_theory 0 1 radd rmul rsub ropp req".