Coq 如何用不同的bin定义证明二进制交换性？

我正在翻阅《软件基础》一书，上面的内容让我感到困惑。我在网上四处寻找，发现了一种不同的垃圾桶配方，但我认为这里的解决方案不适用

问题是，在第三个

-

bullet

中，bin_to_nat（incr（zeropx））=S（bin_to_nat（zeropx）

不会简化，也不能直接重写。所以在学习了replace之后，我认为这可能会起作用，但后来我陷入了试图证明

Zero=zeropzero

的困境

我知道问题是，我可以自由地改变bin的公式，以便更容易地证明它的可交换性，但我的直觉是，如果我陷入上述定义，我不会在Coq上走得更远。尽管与过去几次不同，我认为我还没有工具来克服这一点

我在这里遗漏了什么？

用x替换（zeropx）。

不可能成功：这样一个方程要容纳

x

就需要一个无限项，等于

ZeroP（zeropp（zeropp（…））

。你首先要证明的是

incr

在语义上是扩展的

---

感觉你让我走上了正确的道路。我不知道如何证明

bin_to_nat x=bin_to_nat y->x=y，虽然我觉得这是证明上述的必要步骤。事实上，我已经回头看了前面的例子，颠倒了其中一个，并且意识到我甚至无法证明类似
的东西+n=m+m->n=m
。你永远无法证明
bin_to_nat x=bin_to_nat y->x=y
，因为
bin_to_nat（ZeroP x）=bin_to_nat x
但
ZeroP x=x
不是真的。在
bin
中有太多相同数字的表示形式，因此您必须证明您定义的函数（如
incr
）在所有这些等效表示形式上表现良好（即，它们输出等效值）.好吧，我确实想到了，我有许多（无限）相同数字的表示，因为零可以在数字的后面不停地追加，而不会改变其含义，但我不认为这会使函数无法验证。我现在明白你的意思了。但即使如此，
bin_to_nat x=bin_to_nat y->bin_to_nat（incr x）=bin_to_nat（incr y）
应该是可以证明的。一旦我弄明白如何做，我可能就能弄明白，这需要我更深入地阅读这本书。
// Collacoq link: https://x80.org/collacoq/qezicaroni.coq

Inductive bin : Type :=
| Zero : bin
| One : bin
| ZeroP : bin -> bin
| OneP : bin -> bin.

Inductive bin_carry : Type :=
| ZeroC : bin_carry
| OneC : bin_carry.

(*returns carry, new_state*)
Fixpoint incr' (x : bin) : bin_carry * bin :=
  match x with
  | Zero => (ZeroC, One)
  | One => (OneC, Zero)
  | ZeroP x =>
    match incr' x with
    | (OneC, x') => (ZeroC, OneP x')
    | (ZeroC, x') => (ZeroC, ZeroP x')
    end
  | OneP x =>
    match incr' x with
    | (OneC, x') => (OneC, ZeroP x')
    | (ZeroC, x') => (ZeroC, OneP x')
    end
  end.


Definition incr (x : bin): bin :=
  match incr' x with
  | (ZeroC,x) => x
  | (OneC,x) => OneP x
  end.

(*index_multiplier * result*)
Fixpoint bin_to_nat' (x : bin): nat * nat :=
  match x with
  | Zero => (2,0)
  | One => (2,1)
  | ZeroP x =>
    match bin_to_nat' x with
    | (multiplier,result) => (multiplier * 2,result)
    end
  | OneP x =>
    match bin_to_nat' x with
    | (multiplier,result) => (multiplier * 2,result + multiplier)
    end
  end.


Definition bin_to_nat (x : bin): nat :=
  match bin_to_nat' x with
  | (_,r) => r
  end.

Example bin_test1: bin_to_nat Zero = 0.
Proof. reflexivity. Qed.
Example bin_test2: bin_to_nat (incr Zero) = 1.
Proof. reflexivity. Qed.
Example bin_test3: bin_to_nat (incr (incr Zero)) = 2.
Proof. reflexivity. Qed.
Example bin_test4: bin_to_nat (incr (incr (incr Zero))) = 3.
Proof. reflexivity. Qed.
Example bin_test5: bin_to_nat (incr (incr (incr (incr Zero)))) = 4.
Proof. reflexivity. Qed.

Theorem binary_commute :
  forall (x: bin),
    bin_to_nat(incr x) = S (bin_to_nat x).
Proof. induction x.
       - reflexivity.
       - reflexivity.
       - replace (ZeroP x) with x.
         + rewrite -> IHx. reflexivity.
         + induction x.
           * Abort.

Theorem incr_ext : forall (x y : bin),
  bin_to_nat x = bin_to_nat y -> bin_to_nat (incr x) = bin_to_nat (incr y).