Coq 关系归纳法

我试图证明以下关于自然序的玩具定理：

Inductive Le: nat -> nat -> Prop :=
  | le_n: forall n, Le n n
  | le_S: forall n m, Le n m -> Le n (S m).

Theorem le_Sn_m: forall n m,
  Le (S n) m -> Le n m.

在纸上，这是关于

Le（sn）m

的一个简单归纳。特别是，

le_n

的基本情况并不重要

但是，在Coq中，以归纳法开始我的证明给了我以下信息：

Proof.
  intros n m H. induction H.

1 subgoal
n, n0 : nat
______________________________________(1/1)
Le n n0

…在这种情况下，我会被阻止

---

我应该如何处理呢？

这是由于Coq的限制，当使用

归纳法时，不只是使用变量。通过归纳，Coq忘记了第一个参数是某个
n
的
S

您可以改为执行以下操作：

Theorem le_Sn_m_: forall X m,
  Le X m -> forall n, X = S n -> Le n m.

我认为有一个
依赖归纳法
可以拯救你这个中间引理，但我不记得在哪里。
类似于@Vinz建议，但不改变你正在证明的陈述：

Proof.
  intros n m H.
  remember (S n) as p.
  induction H.

使用该策略将在您的上下文中引入一个等式，从而避免丢失此关键信息。
之所以会出现这种情况，是因为Coq对索引和参数的处理方式不同（请参阅的公认答案，以获得非常好的解释）。
您的
Le
关系仅使用索引，而标准定义将第一个参数作为参数：

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
| le_n : n <= n
| le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m

IMHO这个例子可以作为对Coq归纳类型和指标的练习；但是，如果你打算做的是规范<代码> NAT > BoOL 。@ VIZ，如果你使用Emacs和证明一般，那么考虑查看公司COQ模式。当您开始键入命令时，它会弹出一个包含完成项的弹出窗口，您可以选择一个，按ctrl-h键并在《技术参考手册》中获取文档。因此，在这种情况下，只需键入'depe'并向下箭头至'dependent inclution ident'，然后按ctrl-h。文档将告诉您包括Coq.Program.Equality。至少为您节省了一次网络浏览器之旅和一次心理上下文切换…很高兴知道！谢谢@larsr
Require Import Coq.Program.Equality.   (* for `dependent induction` *)

Inductive Le: nat -> nat -> Prop :=
  | le_n: forall n, Le n n
  | le_S: forall n m, Le n m -> Le n (S m).
Hint Constructors Le.                  (* so `auto` will work *)

Theorem le_Sn_m: forall n m,
  Le (S n) m -> Le n m.
Proof. intros n m H. dependent induction H; auto. Qed.