Coq 证明依赖类型实例之间的相等性

当试图将对应于代数结构的类（例如所有幺半群的类）形式化时，自然的设计是创建一个类型

幺半群（a:type）

，作为一个产品类型，对所有必需的字段进行建模（一个元素

e:a

，一个操作符

app:a->a

，证明满足幺半群定律等）。这样做，我们创建了一个映射

monoid:Type->Type

。这种方法的一个可能缺点是给定一个幺半群

m:monoida

（一个支持类型

a

的幺半群）和

m'：幺半群b

（一个支持类型

b

的幺半群），我们甚至不能写出等式

m=m'

（更不用说证明它了）因为它是类型错误的。另一种设计是创建一个类型

monoid

，其中支持类型只是另一个字段

a:type

，因此给定

m:monoid

，询问

m=m'

，总是有意义的。不知何故，人们会认为如果

m

和

m'

具有相同的支持（

am=am

）并且运算符是相等的（

app m=app m'

，这可以通过一些扩展的相等公理来实现），并且证明字段不重要（因为我们有一些证明无关公理）等等，然后

m=m'

。不幸的是，我们不能用事件表示等式

app m=app m'

，因为它的类型不正确

为了简化问题，假设我们有：

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.
.

我希望得到表格的结果：

forall (a b:Type) (x:a) (y:b), a = b -> x = y -> make a x = make b y.

这对账单打错了，所以我们无法收到

---

我可能有一些公理可以证明两种类型的

a

和

b

是相同的，我可能可以证明

x

和

y

确实是相同的，但我想有一个工具可以让我得出结论

make a x=make b y

。欢迎任何建议。

证明这一点的低技术方法是使用提供的等式插入手动类型转换。也就是说，您没有假设

x=y

，而是假设

（cast q x）=y

。下面我显式地将转换编写为匹配，但您也可以通过定义一个函数使其看起来更好

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.

Lemma ex : forall (a b:Type) (x:a) (y:b) (q: a = b), (match q in _ = T return T with eq_refl => x end) = y -> make a x = make b y.
Proof.
  destruct q.
  intros q.
  congruence.
Qed.

有一种更好的方法可以通过使用“异构相等”（也称为JMeq）来隐藏大部分这种机制。我建议您进行详细介绍。您的示例变成

Require Import  Coq.Logic.JMeq.

Infix "==" := JMeq (at level 70, no associativity).

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.

Lemma ex : forall (a b:Type) (x:a) (y:b), a = b -> x == y -> make a x = make b y.
Proof.
  intros.
  rewrite H0.
  reflexivity.
Qed.

一般来说，尽管这个特殊的定理可以在没有公理的情况下证明，如果你这样做形式化，你很可能会遇到没有关于平等的公理就无法在Coq中证明的目标。特别是，这种依赖记录的内射性是不可证明的。JMEq库将自动使用公理

JMeq_eq

关于异构等式，这使它非常方便