C++ 浮点加法和乘法有关联吗？

我在添加三个浮点值并将它们与1进行比较时遇到了一个问题

cout << ((0.7 + 0.2 + 0.1)==1)<<endl;     //output is 0
cout << ((0.7 + 0.1 + 0.2)==1)<<endl;     //output is 1

---

cout浮点加法不一定是关联的。如果您更改了添加内容的顺序，则可能会更改结果

关于这一主题的标准论文是。它给出了以下示例：

另一个灰色区域涉及括号的解释。由于舍入误差，代数的结合定律不一定适用于浮点数。例如，当x=1e30、y=-1e30和z=1（前者为1，后者为0）时，表达式（x+y）+z的答案与x+（y+z）的答案完全不同

对于目前流行的机器和软件，可能的情况是：

编译器将
.7
编码为0x1.6666666p-1（这是十六进制数字1.6666666乘以2的-1次方），
.2
编码为0x1.9999999999ap-3，
.1
编码为0x1.9999999999999ap-4。这些数字中的每一个都是最接近您所写的十进制数字的浮点数字

请注意，这些十六进制浮点常量的有效位（分数部分，通常被错误地称为尾数）中都有53位。有效位的十六进制数字有一个“1”和十三个以上的十六进制数字（每个四位，总共52位，53位包括“1”），这是IEEE-754标准为64位二进制浮点数提供的

让我们为
.7
和
.2
添加数字：0x1.6666666P-1和0x1.999999999AP-3。首先，缩放第二个数字的指数以匹配第一个数字。为此，我们将指数乘以4（将“p-3”更改为“p-1”），并将有效位乘以1/4，得到0x0.6668p-1。然后添加0x1.66666P-1和0x0.666668P-1，得到0x1.CCCC8P-1。请注意，该数字的有效位超过53位：“8”是周期后的第14位。浮点不能返回这么多位的结果，因此必须将其四舍五入到最接近的可表示数字。在这种情况下，有两个数字相等接近，0x1.cccp-1和0x1.ccdp-1。当出现平局时，将使用有效位最低位为零的数字。“c”是偶数，“d”是奇数，所以使用“c”。添加的最终结果为0x1.cccp-1

接下来，将
.1
的编号（0x1.9999999999999 AP-4）添加到该编号中。我们再次缩放以使指数匹配，因此0x1.9999999999ap-4变为0x.33333333334p-1。然后将其添加到0x1.cccccccp-1，得到0x1.fffffffffff4p-1。将其舍入到53位将得到0x1.fffffffffffp-1，这是
.7+.2+.1
的最终结果

现在考虑<代码> . 7 + . 1 + . 2 < /代码>。对于
.7+.1
，添加0x1.6666666P-1和0x1.99999999AP-4。回想一下，后者的比例为0x.33334p-1。那么精确的和就是0x1.9999999994p-1。将其舍入到53位，得到0x1.999999999P-1

然后为
.2
（0x1.9999999999999 AP-3）添加数字，该数字缩放为0x0.66666668P-1。精确总和为0x2.00000000000008p-1。浮点有效位总是以1开始缩放（特殊情况除外：零、无穷大和可表示范围底部的非常小的数字），因此我们将其调整为0x1.00000000000004p0。最后，我们四舍五入到53位，得到0x1.0000000000000p0

这样，因为舍入时发生错误，<代码> 7 + 2 + 1 .<代码>返回0x1.ffffffffffffffp-1（非常小于1），而<代码> 7 + 1 + 2 > <代码>返回0x1.00万，000 000 p0（正好1）。< /P> < P> <强>浮点乘法在C或C++中不关联。< /强> 
证明：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int main() {
    int counter = 0;
    srand(time(NULL));
    while(counter++ < 10){
        float a = rand() / 100000;
        float b = rand() / 100000;
        float c = rand() / 100000;

        if (a*(b*c) != (a*b)*c){
            printf("Not equal\n");
        }
    }
    printf("DONE");
    return 0;
}

#包括
#包括
#包括
使用名称空间std；
int main（）{
int计数器=0；
srand（时间（空））；
while（计数器+++<10）{
浮动a=rand（）/100000；
浮动b=rand（）/100000；
浮点数c=rand（）/100000；
如果（a*（b*c）！=（a*b）*c）{
printf（“不相等\n”）；
}
}
printf（“完成”）；
返回0；
}

在这个程序中，大约30%的时间，
（a*b）*c
不等于
a*（b*c）
您的示例代码在可交换性而非关联性方面有所不同。演示关联性的版本应该是
（0.7+（0.1+0.2））
@MattMcNabb:+是一个二进制操作。对于浮点操作数，它是可交换的，但不是关联的。因此，如果有两个表达式产生不同的结果，则不能通过仅应用交换性来形成另一个表达式。@tmyklebu OK，因此只有当且仅当已知交换性成立时，才会检查关联性。（C++标准似乎不保证交换性），或者如果代码< RANDMAX＜100000＜/Cal码＞0%的时间。Evg：我在文本中的数字是数学数字，不是源代码或浮点数。不应将它们放入源代码样式中。我用引文编写的各种东西，例如“.0+.++.0”，都代表浮点运算所做的计算，可以用源代码格式而不是引用来显示，所以我会考虑把它当作一个编辑。@ EVG：把一些“计算”的数字放进去不是一个坏主意。与精确的数学数字相反，在源代码风格中，所以我将研究它。