C++ 多变量hermite样条

我知道如何做从（即4x4网格）像B样条曲线，卡特穆尔-Rom，贝塞尔

然而，我更希望类似2D/3D的类比由4个控制点（

p00、p01、p10、p11

）和4个法线（

n00、n01、n10、n11

）在该点进行描述

我试着编程（首先沿

u

进行2x1d插值，然后沿

v

插值结果）

当我意识到我不知道如何使用曲面法线来代替1D Hermite样条曲线中使用的导数时，我陷入了困境

如果我天真地只插入法线而不是导数，我会得到无意义的结果。在这里看到C++代码（我只使用相关部分）：

//基函数
模板
内联空心样条曲线\u hermite\u基准（x型、c0型、c1型、d0型、d1型）{
x2型=x*x；
x3型=x*x2；
c0=2*x3-3*x2+1；
c1=-2*x3+3*x2；
d0=x3-2*x2+x；
d1=x3-x2；
};
//基函数的导数
模板
内联空心样条线（x型、c0型、c1型、d0型、d1型）{
x2型=x*x；
c0=6*x2-6*x；
c1=-6*x2+6*x；
d0=3*x2-4*x+1；
d1=3*x2-2*x；
};
无效立方体匹配点（双u、双v、，
const Vec3d和p00，const Vec3d和p01，const Vec3d和p10，const Vec3d和p11，
const Vec3d&n00、const Vec3d&n01、const Vec3d&n10、const Vec3d&n11、，
Vec3d&p、Vec3d&n
){
双cc0，cc1，cd0，cd1；
双dc0，dc1，dd0，dd1；
//沿u轴插值
样条hermite基（u，cc0，cc1，cd0，cd1）；
dspline_hermite_基（u，dc0，dc1，dd0，dd1）；
Vec3d p0u、p1u、n0u、n1u；
p0u.set_mul（p00，cc0）；p0u.add_mul（p01，cc1）；p0u.add_mul（n00，cd0）；p0u.add_mul（n01，cd1）；//p0u=cc0*p00+cc1*p01+cd0*n00+cd1*n01；
n0u.set_mul（p00，dc0）；n0u.add_mul（p01，dc1）；n0u.add_mul（n00，dd0）；n0u.add_mul（n01，dd1）；//n0u=dc0*p00+dc1*p01+dd0*n00+dd1*n01；
p1u.set_mul（p10，cc0）；p1u.add_mul（p11，cc1）；p1u.add_mul（n10，cd0）；p1u.add_mul（n11，cd1）；//p1u=cc0*p10+cc1*p11+cd0*n10+cd1*n11；
n1u.set_mul（p10，dc0）；n1u.add_mul（p11，dc1）；n1u.add_mul（n10，dd0）；n1u.add_mul（n11，dd1）；//n1u=dc0*p10+dc1*p11+dd0*n10+dd1*n11；
//沿v的插值
样条hermite基（v，cc0，cc1，cd0，cd1）；
dspline_hermite_基（v，dc0，dc1，dd0，dd1）；
p、 设置_mul（p0u，cc0）；p.add_mul（p1u，cc1）；p.add_mul（n0u，cd0）；p.add_mul（n1u，cd1）；//p=cc0*p0u+cc1*p1u+cd0*n0u+cd1*n1u；
n、 设置多个（p0u，dc0）；n.add多个（p1u，dc1）；n.add多个（n0u，dd0）；n.add多个（n1u，dd1）；//n=dc0*p0u+dc1*p1u+dd0*n0u+dd1*n1u；
}   

您想要的是双三次Hermite曲面，它由4个角点和每个角点处的dS/du、dS/dv和d2S/dudv定义，其中dS/du和dS/dv是u和v方向上的偏导数，d2S/dudv是扭曲向量。有关更多详细信息，请参阅和

---

仅具有4个角点和4个法向量不足以唯一定义双三次曲面。但是，可以从法向量和4个角点推断dS/du和dS/dv。当然，推断公式需要确保dS/du和dS/dv之间的叉积向量与法向量方向相同。对于扭曲向量d2S/dudv，可以使用零向量。

谢谢。与此同时，我发现这可能是问题所在（点和法线根本没有足够的自由度）。我有点失望，因为要扩展到更高的维度，任何三次插值都需要内存中4^N的数字，而不是2*（2^N）。。。如果我在trinagle（单纯形）而不是矩形上进行插值，会有什么变化吗？我的意思是：如果在trinagle上有类似hermite样条的东西，或者如果在三角形网格上有一个二维插值，并且有连续的导数，你只提供点和法线？

// basis function
template <class TYPE>  
inline void spline_hermite_basis( TYPE x, TYPE& c0, TYPE& c1, TYPE& d0, TYPE& d1 ){
    TYPE x2   = x*x;
    TYPE x3   = x*x2;
    c0        =  2*x3 - 3*x2 + 1;
    c1        = -2*x3 + 3*x2    ;
    d0        =    x3 - 2*x2 + x; 
    d1        =    x3 -   x2    ;
};

// derivative of basis functions
template <class TYPE>  
inline void dspline_hermite_basis( TYPE x, TYPE& c0, TYPE& c1, TYPE& d0, TYPE& d1 ){
    TYPE x2   = x*x;
    c0        =   6*x2 - 6*x    ;
    c1        =  -6*x2 + 6*x    ;
    d0        =   3*x2 - 4*x + 1; 
    d1        =   3*x2 - 2*x    ;
};

void cubicPatch_point( double u, double v, 
    const Vec3d& p00, const Vec3d& p01, const Vec3d& p10, const Vec3d& p11,  
    const Vec3d& n00, const Vec3d& n01, const Vec3d& n10, const Vec3d& n11, 
    Vec3d& p, Vec3d& n  
){
    double cc0,cc1,cd0,cd1;
    double dc0,dc1,dd0,dd1;
    // interpolation along u
     spline_hermite_basis<double>( u,  cc0, cc1, cd0, cd1 );
    dspline_hermite_basis<double>( u,  dc0, dc1, dd0, dd1 );
    Vec3d p0u,p1u,n0u,n1u;
    p0u.set_mul( p00, cc0 ); p0u.add_mul( p01, cc1 ); p0u.add_mul( n00, cd0 ); p0u.add_mul( n01, cd1 );   // p0u =  cc0*p00 + cc1*p01 + cd0*n00 + cd1*n01; 
    n0u.set_mul( p00, dc0 ); n0u.add_mul( p01, dc1 ); n0u.add_mul( n00, dd0 ); n0u.add_mul( n01, dd1 );   // n0u =  dc0*p00 + dc1*p01 + dd0*n00 + dd1*n01; 
    p1u.set_mul( p10, cc0 ); p1u.add_mul( p11, cc1 ); p1u.add_mul( n10, cd0 ); p1u.add_mul( n11, cd1 );   // p1u =  cc0*p10 + cc1*p11 + cd0*n10 + cd1*n11; 
    n1u.set_mul( p10, dc0 ); n1u.add_mul( p11, dc1 ); n1u.add_mul( n10, dd0 ); n1u.add_mul( n11, dd1 );   // n1u =  dc0*p10 + dc1*p11 + dd0*n10 + dd1*n11; 
    // interpolation along v
     spline_hermite_basis<double>( v,  cc0, cc1, cd0, cd1 );
    dspline_hermite_basis<double>( v,  dc0, dc1, dd0, dd1 );
    p.set_mul( p0u, cc0 );  p.add_mul( p1u, cc1 );  p.add_mul( n0u, cd0 );  p.add_mul( n1u, cd1 );        // p =  cc0*p0u + cc1*p1u + cd0*n0u + cd1*n1u; 
    n.set_mul( p0u, dc0 );  n.add_mul( p1u, dc1 );  n.add_mul( n0u, dd0 );  n.add_mul( n1u, dd1 );        // n =  dc0*p0u + dc1*p1u + dd0*n0u + dd1*n1u; 
}