C++ 有没有一种简单的方法来反转三角形（上或下）矩阵？

我正在尝试实现一些基本的线性代数运算，其中一个运算是三角形（上和/或下）矩阵的求逆。有没有一个简单而稳定的算法可以做到这一点

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谢谢。

是的，请使用。矩阵求逆的标准算法是找到其LU分解（分解为下三角矩阵和上三角矩阵），在三角片上使用反代换，然后组合结果以获得原始矩阵的逆。

如果您谈论的是单精度实数，看看LAPACK例程的源代码。

哇，这几乎是数值分析课程内容的一半。标准算法可以做到这一点，并且有一堆固定的代码。这个问题和大多数其他常见的数值分析问题的最终来源是。

给定一个下三角矩阵L，反置换允许您求解系统 Lx=b 快速移动到任何右侧b

要反转L，您可以为右侧e1=（1,0，…，0），e2=（0,1，…，0），…，en=（0,0，…，1）求解此系统，并将所得解向量合并到单个（必要的下三角）矩阵中

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如果您对封闭形式的解感兴趣，则逆矩阵的对角元素是原始对角元素的逆矩阵，并且逆矩阵其余元素的公式随着您从对角点移开而变得越来越复杂。

如果可以，请不要将其反转。这是数值线性代数的基本法则之一

将矩阵L本身保存在内存中，并在需要对inv（L）执行其他操作时使用回代进行计算，速度更快，数值更稳定

inv(L)b

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请注意，求逆的常用算法需要求解系统等，因此您会发现根本不求逆要容易得多。

作为三角形矩阵A的B逆，您可以使用以下MATLAB代码：

inv(L)[1 0 0 ...],
inv(L)[0 1 0 ....],
inv(L)[0 0 1 ....]

n = size(A,1);
B = zeros(n);
for i=1:n
    B(i,i) = 1/A(i,i);
    for j=1:i-1
        s = 0;
        for k=j:i-1
            s = s + A(i,k)*B(k,j);
        end
        B(i,j) = -s*B(i,i);
    end
end

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我想得到三角形矩阵的逆矩阵，而不是正方形矩阵。反代换如何帮助我获得三角形的逆矩阵？根据定义，三角形矩阵是正方形的。而且，只有正方形矩阵才有逆矩阵。反三角形矩阵不是数值分析课程的一半内容。求一个三角矩阵的逆是很简单的，而且朴素的算法是稳定的。必须做行旋转。天真是不稳定的。旋转（比如说，高斯消去法）将线性系统转化为三角形，然后用反置换法求解。至于稳定性，请参阅尼古拉斯·海厄姆（Nicholas Higham）的《数值算法的准确性和稳定性》一书，第二版第140页