C++ 如何执行笛卡尔变换

我相信笛卡尔变换是我所需要的，但我不确定。这是我的问题

我有两个坐标系，一个是全局的x，y，z，另一个是局部的I，j，k，存在于x，y，z的内部

我知道本地系统在全球范围内的原点位置。我们把它标为B

我知道沿轴I和j还有两个点C和E。这意味着我的轴i可以由线BC定义，轴j可以由线be定义。轴k将垂直于二维平面i，j

如何将一个系统的坐标转换为另一个系统的坐标

例如，假设我知道D{x，y，z}，我知道D存在于局部坐标系中，我如何得到D{I，j，k}？还有，我怎样才能回到另一个方向呢

如何：

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D{x，y，z}D{i，j，k}

仿射变换是由3×1平移向量B和3×3旋转矩阵E定义的。现在你想取一个局部点

p=（i_p，j_p，k_p）

并将其变换为全局点

p'=（x_p，y_p，z_p）

。这是由

    P' = B + E * P

翻译很简单，

B=（B_x，B_y，B_z）

旋转矩阵定义为单位向量

i

、

j

和

k

的全局坐标，作为矩阵的三列

    | i_x  j_x  k_x |
E = | i_y  j_y  k_y |
    | i_z  j_z  k_z |

要查找这些组件，请使用点的坐标

B=（B_x，B_y，B_z）

，

C=（C_x，C_y，C_z）

和

E=（E_x，E_y，E_z）

取C和B之间的差值，并将其作为

i

的单位向量。找出它们之间的距离，如图所示

d_BC = sqrt( (B_x-C_x)^2 + (B_y-C_x)^2 + (B_z-C_z)^2 );

d_BE = sqrt( (B_x-E_x)^2 + (B_y-E_x)^2 + (B_z-E_z)^2 );

其组成部分包括：

i_x = (C_x-B_x)/d_BC;
i_y = (C_y-B_y)/d_BC;
i_z = (C_z-B_z)/d_BC;

j_x = (E_x-B_x)/d_BE;
j_y = (E_y-B_y)/d_BE;
j_z = (E_z-B_z)/d_BE;

取E和B之间的差值，并将其作为

j

的单位向量。找出它们之间的距离，如图所示

d_BC = sqrt( (B_x-C_x)^2 + (B_y-C_x)^2 + (B_z-C_z)^2 );

d_BE = sqrt( (B_x-E_x)^2 + (B_y-E_x)^2 + (B_z-E_z)^2 );

其组成部分包括：

i_x = (C_x-B_x)/d_BC;
i_y = (C_y-B_y)/d_BC;
i_z = (C_z-B_z)/d_BC;

j_x = (E_x-B_x)/d_BE;
j_y = (E_y-B_y)/d_BE;
j_z = (E_z-B_z)/d_BE;

使用向量叉积

k=i×j

k_x = i_y*j_z - i_z*j_y;
k_y = i_z*j_x - i_x*j_z;
k_z = i_x*j_y - i*y*j_x;

完全的转变正在进行

x_P = B_x + i_x*i_P + j_x*j_P + k_x*k_P;
y_P = B_y + i_y*i_P + j_y*j_P + k_y*k_P;
z_P = B_z + i_z*i_P + j_z*j_P + k_z*k_P;

编辑1

反向转换是

    P = E'*(P'-B)

其中

E'

是3×3矩阵

E

的转置。在组件形式中，这是

i_P = i_x*(x_P-B_x) + i_y*(y_P-B_y) + i_z*(z_P-B_z);
j_P = j_x*(x_P-B_x) + j_y*(y_P-B_y) + j_z*(z_P-B_z);
k_P = k_x*(x_P-B_x) + k_y*(y_P-B_y) + k_z*(z_P-B_z);

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如果您需要数学方面的帮助，请访问相应的数学网站。您好@ja72，我衷心感谢您的帮助和非常详尽的回答。我更关心xyz->ijk，而不是相反，我如何才能改变这个等式呢？我会研究你的信息，看看我是否能自己得到答案。我想PM你个人感谢你，也让你知道更多关于你帮助的项目，看看是否有一种方式，我可以信任你的贡献。唉，stackoverflow不允许这样的事情，所以请随时与我联系chrisbay90@gmail.comSee为反向转换编辑。如果你喜欢，请将我作为SO用户并链接到我的个人资料。