Floating point IEEE 754浮点数标准是否会导致浮点数的偏差分布？

对于整数，位表示可以覆盖

min\u int

和

max\u int

之间的所有可能整数

对于浮动，这是不可能的，因为在任何范围之间，浮动的数量是无限的

我明白这一点，没问题

最小的正浮点是

min\u float

，因此我假设PC中的任何浮点理论上应该是

k*min\u float

，k是一个整数，基本上，

min\u float

是最小的单位我说得对吗？

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下面的一条评论说

由于采用浮点表示法，因此有更多的“小” 根据标准，数字大于“大”数字

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我真的不明白。为什么小数字比大数字多？IEEE 745实际上将类别浮动为单位，为什么它会导致这种值偏差？

评论者是正确的-可代表的小数字比大数字多

对于IEEE 754浮点数，将分数位转换为范围为1的值≤ f<2，然后将其乘以提升指数。很好。我将在这里讨论64位双精度，因为很容易坚持使用一种类型

为简单起见，假设方程为f×2e-1023，忽略如何从原始位和符号位导出f的细节。对于这个答案的其余部分，假设符号位不存在——这实际上并不重要，因为我们讨论的是值的大小，而不是与正数和负数相关的字面上的“大”或“小”

这里的重要部分是指数数据被转换为2e-1023，其中e是11位指数。e的可能原始值介于0和2047之间，这意味着指数范围为2-1023到21024

现在，由于所有分数值都在1的范围内≤ f<2，它认为必须有1024个可能的值≤对于任意选择的f值，为2；对于任意选择的f值，为1024个可能值>2

因此，计算它们相对来说是微不足道的：

• 252×1024=4611686018427387904可能值≤ 二,
• 252×1024=4611686018427387904可能值>2

编辑：事实上，它比我想象的还要好。。。对于f的任何固定值，有2048个可能的指数值。当指数为1023时，计算的指数（21023-1023）变为20，即1。因为f×1就是f，这意味着50%的界实际上是f，而不是2。因此，对于任何给定的f值，随机选取一个指数，得出小于或等于f的结果的概率是50%

注意，我们考虑的是值的大小，而不是文字值，所以这里不存在负数。如果你想恢复符号位，只需将每一个的计数增加一倍，因为你会有同样多的负数

现在考虑，第一个集合中的值范围仅为0到f，而第二个集合中的范围是f，以达到浮点类型可以存储的最大可能值。因此，在“小”数字范围内，可表示的数字总是要密集得多

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要100%清楚：所有可表示的浮点数中有50%在-f到+f的范围内，其余的50%由所有其他数字构成。

“在任何范围之间，浮点数是无穷大的”您必须考虑实数。或者理性。或者二元。在+inf和-inf之间有有限个浮点数。好的，我知道了。尾数的可能值是固定的，介于1和2之间。E部分将按数量级增加整个值，因此E越大，它所能代表的值越少。就像在十进制中，如果我说M部分是固定的，假设唯一可能的值是1.1和1.11，那么如果我们将E部分增加1，可能的值将是11和11.1，但不是11.11；如果将E增加2，则可能的值为110和111，但不是110.1或111.1或111.11等。因此，改变E将导致更大的值。我理解正确吗？为了精确起见，你能解释一下为什么现在

，因为所有的分数值都在1范围内吗≤ f<2，它认为必须有1024个可能的值≤2对于任意选择的f值，1024个可能值>2对于任意选择的f值。

成立？@JacksonTale最大指数（两个无穷大，所有剩余位模式均为NaN）和零指数（两个零所有剩余位模式均为次正态数）的不同处理使情况变得复杂.@JacksonTale为

f

的值选择任意52位的随机集。不管他们是什么。从拾取的单个

f

值可以生成多少不同的浮点值？答案是2^12（4096），因为您还有12个剩余位：11个指数位和1个符号位。如果我们只看指数——暂时忽略符号——那就是2048个可能的值。由于计算是2^（e-1023），这就给你留下了1024个正指数值（包括零）和1024个负指数值。@JacksonTale事实上，想想看，我的断言是错误的-临界点是

f

，而不是2。这实际上使我的论点更加有力，因为

f=2

是获得一个小数字概率的“最坏情况”——任何其他

f

值都会使你获得一个小数字的概率更高。