Graph 如何选择包含任意k个节点的图的最小子图

我正在努力解决下面的问题。它类似于k-最小生成树和steiner树问题，但它是一个图

• 我们有一个非负的无向加权图G=（V，E）
• 对于每对顶点v1和v2，都存在一条边e12。换句话说，每个顶点都连接到其他每个顶点
• 我们将创建包含k个顶点的顶点U的子集
• 我们的目标是选择U中的n个顶点，这样从U中的每个顶点到每个其他顶点的边之和最小。换言之，我们希望选择U中的顶点，以便使U中的节点向外的所有边的总和最小化
• 1

---

k-MST或Steiner树近似解都不起作用，这是对的吗？如果是，这个问题叫什么？解决方案是什么？我可以使用启发式或近似方法来解决这个问题，不需要正式的证明

我不知道是否有更快的算法，但最简单的算法（如果我理解正确的话）是：

• 构建一个数组/贴图，在其中保存从vi到任何其他顶点的每条边的权重之和。如果您考虑图形的矩阵表示，其中每一行/列都是顶点，每个单元格都是边上的权重。数组将是每行的总和
• 生成所有k大小的顶点子集，保留总和最小的顶点

---

如果有n个顶点，这就是

n/（k！（n-k）！

这样的组合。

你是正确的，k-MST或Steiner树不起作用-它们只生成一棵树，而你需要一个具有特殊属性的图，例如，如果我理解你的问题，U内顶点之间的成本为0，所有其他边的成本最小

虽然答案看起来是正确的，但我认为使用诸如或之类的方法会更好

对于元启发式：

计算每个顶点的边成本

贪婪地拾取k个顶点-它形成初始解

对于SA，开始修改初始解决方案，一个接一个地包含/排除新顶点（可能有更好的方法，您应该自己研究）

如果有足够的时间，它应该收敛到足够好的解决方案

对于约束满足：

目标：从给定图形中选择k个顶点。对于每个顶点，引入 一个布尔变量，如果它是1-顶点是U的一部分，否则它是0。那么你的目标是：

和（顶点==1）=k

受制于：k顶点和其他顶点之间边权重的最小和。如果我是正确的，U中边的成本是0。我不知道如何恰当地表达这些约束，但它们应该相当简单

运行一个超时的解算器，比如说几个小时

---

对于最后一种方法，约束满足，内存可能是一个问题-您需要大量内存来表示完全连通的图和所有约束。尽管如此，还是要进行检查和项目。

我最近在这类问题上没有太多经验，所以我不得不问几个可能很愚蠢的问题：k和n是一回事吗？U和V是一回事吗？你的第三点只是你第四点的简化版本吗？不完全是。V表示某个图中所有顶点的集合。E表示此图中的边集。k只是一个整数，表示我们需要多少个顶点（它是问题的输入，以及包含V和E的图G）。U表示我们希望通过某种算法选择的k个顶点的子集（U是问题的输出）。因此，第4点是说，我们的算法选择的位于U中的k个顶点的选择应该使它们到所有顶点（包括那些不在U中的顶点）的边的长度之和最小化。因此，如果你想到一个矩阵，其中每列/行是一个顶点，每个单元格是一个权重。所以U是行的子集，然后你想最小化每行的权重之和？