Graphics 计算曲面的地平线？

我需要找到两个可视地平线的点，一个曲面

我有：

• 四个角点的XYZ
• 2个曲边bezier点的XYZ

我需要计算：

• 水平点的XY
• 地平线点的XYZ

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首先，您必须将3D贝塞尔变换为2D。如果我没记错的话，投射曲线就足够了，就像投射3D点进行渲染一样

然后你必须找到曲线的极值

小说明： 将贝塞尔曲线从贝塞尔表示转换为形式的多项式

  x(t) = a*t^3 + b*t^2 + c*t + d
  y(t) = e*t^3 + f*t^2 + g*t + g

  Here t is your interpolation variable that goes from 0 to 1.
  a to d are the coefficients for the curve along the x-axis
  e to g are the coefficients for the curve along the y-axis.

现在构建曲线的第一个导数（因为它是一个多项式，所以很容易）。 这会给你一个二次方程。求解这些根并丢弃0..1范围之外的所有根。同样，求根很容易，因为它只是一个二次多项式

你怎么有一堆根。将所有这些插入原始的贝塞尔曲线，计算它们的位置，得到一系列点。极值（如果存在）将在这些点之间

现在，您所要做的就是搜索具有最高（或最低-不知道您的坐标系看起来如何）y坐标的坐标

请注意，您可能根本得不到极值。例如，如果贝塞尔曲线是一条直线，就会发生这种情况。在这些情况下，您可能希望在极值搜索中包括第一个和最后一个贝塞尔控制点

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编辑：

你问过如何把贝塞尔变换成多项式。好的，从普通贝塞尔曲线方程开始：

 x(t) = x0 * (1-t)³ + 3*x1*(1-t)²*t + 3*x2*(1-t)*t² +x3*t³

（x0到x3是曲线四个控制点的x值）

然后把所有的项一个接一个地相乘，然后用t的幂对它们进行排序。不幸的是，我没有在我正在写的计算机上运行我的数学软件包，我也懒得在纸上运行：-）因此，如果有人运行mathlab，你能编辑这个答案并添加扩展版本吗

不管怎样，因为你对多项式不感兴趣，只对它的导数感兴趣，所以事情就简单了一点。您可以直接获得系数（此处仅显示x）：

使用这三个值（A、B、C），第一个导数的多项式如下所示：

  x(t) = A*t^2 + B*t + C

现在将A、B和C插入到二次多项式的根解算器中，就完成了。作为参考，我使用下面的解算器C代码：

int GetQuadraticRoots (float A, float B, float C, float *roots)
{
  if ((C < -FLT_EPSILON) || (C > FLT_EPSILON))
  {
    float d,p;
    // it is a cubic:
    p = B*B - 4.0f * C*A;
    d = 0.5f / C;
    if (p>=0)
    {
      p = (float) sqrt(p);
      if ((p < -FLT_EPSILON) || (p > FLT_EPSILON))
      {
        // two single roots:
        roots[0] = (-B + p)*d;
        roots[1] = (-B - p)*d;
        return 2;
      } 
      // one double root:
      roots[0] = -B*d;
      return 1;
    } else {
      // no roots:
      return 0;
    }
  } 
  // it is linear:
  if ((B < -FLT_EPSILON) || (B > FLT_EPSILON))
  {
    // one single root:
    roots[0] = -A/B;
    return 1;
  }
  // it is constant, so .. no roots.
  return 0;
}

int getquadraicroots（浮点A、浮点B、浮点C、浮点*根）
{
if（（C<-FLT_ε）| |（C>FLT_ε））
{
浮点数d，p；
//它是一个立方体：
p=B*B-4.0f*C*A；
d=0.5f/C；
如果（p>=0）
{
p=（浮动）sqrt（p）；
if（（p<-FLT_ε）| |（p>FLT_ε））
{
//两个单根：
根[0]=（-B+p）*d；
根[1]=（-B-p）*d；
返回2；
} 
//一个双根：
根[0]=-B*d；
返回1；
}否则{
//无根：
返回0；
}
} 
//它是线性的：
if（（B<-FLT_ε）| |（B>FLT_ε））
{
//一个单根：
根[0]=-A/B；
返回1；
}
//它是常数，所以…没有根。
返回0；
}

非常感谢您的大力帮助，我只想知道如何“将贝塞尔曲线从贝塞尔表示（X，Y为3点）转换为多项式”这是否适用于二次贝塞尔方程，因为它将返回线性导数？或者我应该试着把我的二次贝塞尔转换成三次贝塞尔吗？再次感谢您难以置信的帮助。任何一种解决方案都有效。我只需要建立二次贝塞尔的一阶导数。这会给你一个像a*t+b=0这样的方程，它更容易解。我真的理解了为什么你的解不起作用。请你帮我把这个问题重新发上来好吗：讨论继续在

int GetQuadraticRoots (float A, float B, float C, float *roots)
{
  if ((C < -FLT_EPSILON) || (C > FLT_EPSILON))
  {
    float d,p;
    // it is a cubic:
    p = B*B - 4.0f * C*A;
    d = 0.5f / C;
    if (p>=0)
    {
      p = (float) sqrt(p);
      if ((p < -FLT_EPSILON) || (p > FLT_EPSILON))
      {
        // two single roots:
        roots[0] = (-B + p)*d;
        roots[1] = (-B - p)*d;
        return 2;
      } 
      // one double root:
      roots[0] = -B*d;
      return 1;
    } else {
      // no roots:
      return 0;
    }
  } 
  // it is linear:
  if ((B < -FLT_EPSILON) || (B > FLT_EPSILON))
  {
    // one single root:
    roots[0] = -A/B;
    return 1;
  }
  // it is constant, so .. no roots.
  return 0;
}