Haskell-Hermite多项式的实现

Haskell允许以非常简洁的方式表示递归函数。例如，包含斐波那契数的无限列表可以定义如下：

fibs :: [Integer]
fibs = 1 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我处理的是“概率论者”埃尔米特多项式，它具有以下递归关系：

对于给定的x，构造n次Hermite多项式无限列表的最佳方法是什么？

我们可以这样写：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : x : zipWith3 (\hn2 hn1 n1 -> x*hn1 - n1*hn2) s ts [1..]

其中第一个项目

1:x:…

是

hermite

的第一个元素（您可以填写其他值）

对于下一个，我们压缩原始值

s

（以

H0

开始），压缩

s

的尾部

ts

（以

H1

开始）和索引（以

2

，

3

，…）并执行操作

x*hn1-x*hn2

（

nh1

代表Hn-1，

nh2

代表Hn-2），因此我们每次计算下一个元素

x=0.75

的前11个值为：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,0.75,-0.4375,-1.828125,-5.859375e-2,7.2685546875,5.744384765625,-39.30303955078125,-69.68797302246094,262.1583366394043,823.8105096817017]

因此，第一个值是1，第二个值是

x

，第三个值是

x*x-2

，第四个值是

x*x*x-2*x-3*x

，依此类推

也就是说，如果我没记错的话，Hermite多项式的递归公式是：

Hn（x）=2×x×Hn-1（x）-2×（n-1）Hn-2（x）

而不是问题中引用的

在这种情况下，公式如下：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : 2 * x : zipWith3 helper s ts [1..]
          helper hn2 hn1 n1 = 2 * (x * hn1 - n1 * hn2)

那么前11个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,1.5,0.25,-5.625,-9.9375,30.09375,144.515625,-144.3515625,-2239.74609375,-1049.994140625,38740.4384765625]

根据这一点，哪一个是正确的：

H0=1

H1=2*x

H2=4&dot；x2-2

H3=8&dot；x3-4&dot；x

H4=16&dot；x4-48&dot；x2+12

与我们获得的值完全对应：

Prelude> let x = 0.75 in [1,2*x,4*x*x-2,8*x*x*x-4*x,16*x*x*x*x-48*x*x+12]
[1.0,1.5,0.25,0.375,-9.9375]

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是的，我的公式错了（在rhs上是n而不是n-1），现在它被更正了。但是，你说的公式是所谓的“物理学家”埃尔米特多项式，我不需要。你能根据我所做的更改更正你的答案吗？