Image processing 为什么空间域中的卷积等于频域中的乘法？

为什么说“图像在空间域的卷积等于在频率域的乘法”？

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有人能简单解释一下吗？

不幸的是，StackOverflow不支持MathJaX，因此很难在这里展示数学

一种解释是卷积是线性不变算子。
如你所知，线性时间/空间不变系统基本上只做一件事——延迟和缩放

延迟和标度的本征函数是调和函数。
这意味着，给出一个由谐波信号（实际上是它的傅里叶变换）描述的信号，线性时间/空间不变性算子仅通过复数（按相位缩放和移位）对其进行缩放，这就是在傅里叶域中所做的

它类似于线性代数中的对角化。
例如，让我们以操作符的形式对图像应用过滤器-

A

因此，系统的输出是

y=ax

如果

A

可对角化为

A=P^T D P

，其中

D

是对角矩阵，

P^T=I

，即酉矩阵。
因此，通过定义

z=px

和

T=py

我们得到

T=dz

，也就是说，我们只需要将

T

中的每个元素相乘，而不是整个矩阵相乘

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如果你认为

p

是傅里叶变换算子，那么你可以在另一个域-傅里叶域中进行元素乘法，而不是矩阵乘法。

你能简单地解释一下吗？我是一名本科生，有生以来第一次阅读图像处理课程！你上过信号处理课吗？线性代数怎么样？好的，线性代数！这有一个定理：非常感谢。这里的解释很好。这更有帮助……Wolfram提供了更简洁的版本：