Java 精灵椭圆运动

我试图让一个2d精灵以“弧形”（半椭圆）而不是直线移动。我有X和Y的起始和结束位置以及所需的半径

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实现这一点的最佳方法是什么？

如果你想让它在椭圆中移动，我所知道的最简单的方法是用sin给出y值作为时间的函数，用cos给出x值作为时间的函数。假设您正在使用System.currentTimeMillis（）；，您可以将初始时间存储在一个变量中（例如，double startTime=System.currentTimeMillis（）），然后在每个帧中，通过从开始时间减去当前时间来获得经过的时间。（例如，elapsedTme=System.currentTimeMillis（）-startTime）。然后y值将是（y方向的半径）*sin（elapsedTime*速度）+椭圆中心的y值，x值将是（x方向的半径）*cos（elapsedTime*速度）+椭圆中心的x值

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编辑：如果你有开始的X和Y坐标，但没有椭圆的中心，那么我认为获得中心的最简单方法就是计算出其余的变量，然后将它们插入到方程中。这里的数学应该不会太难。

您可能希望使用椭圆的参数形式，这里显示的公式

因为你有一个起始点，和一个结束点，你需要求解两端的t

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然后，以相对较小的增量，从开始到结束逐步进行t。

我认为，通过一系列坐标变换可以最好地解决这个问题。为了简单起见，让我们假设你的两点是u和v

假设您在一个非常简单的情况下工作-点u和v分别位于（1,0）和（-1,0），椭圆上长轴的长度为1。那么你只是在画一个半圆。假设要在点之间以恒定速度插值，可以使用以下公式：

x(t) = cos(pi * t)
y(t) = sin(pi * t)

当然，您不一定足够幸运，因此我们可以进行一系列坐标变换，将您带入此配置。首先，让我们将点w定义为u=（x0，y0）和v=（x1，y1）之间的中间点。即:

w = (x2, y2) = ((x0 + x1) / 2, (y0 + y1) / 2)

现在，假设你平移u和v，使w位于原点。这意味着u和v与原点沿相反向量等距。如果我们使用矩阵和齐次坐标，那么可以表示为

     | 1  0 -x2 |
 T = | 0  1 -y2 |
     | 0  0   1 |

翻译后的u和v的位置由

Tu

和

Tv

给出。让我们把这些点称为u'和v'。它们是由

u' = (x0 - x2, x1 - y2) = (x0 / 2 - x1 / 2, y0 / 2 - y1 / 2)
v' = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 / 2 - x0 / 2, y1 / 2 - y0 / 2)

我们现在离解决原始问题更近了，但我们有一个问题，u'和v'与x轴没有很好地对齐，就像它们在原始问题中一样。为了解决这个问题，我们将应用旋转变换，使u'在（1，0）处结束，v'在（0，1）处结束。为此，我们需要建立一个坐标系，其中一个基向量在方向u'上，另一个在垂直于它的方向上。为此，我们将选取如下单位向量：

e0 = u' / ||u||
e1 = perp(e0)

其中，

perp

是垂直于

e0

的单位向量。一种方法是说如果

e0=（x3，y3）

，那么

e1=perp（e0）=（-y3，x3）

。您可以验证此向量是否垂直于

（x3，y3）

，因为它们的点积为零

给定这些向量，我们可以定义一个将（1，0）映射到

e0

和（0，1）映射到

e1

的变换

|x3 -y3  0|
|y3  x3  0|
| 0   0  1|

（最后一列表示齐次坐标系）

当然，这与我们想要的正好相反——我们正在尝试从

e0

映射到（1,0）和从

e1

映射到（0,1）。为了得到这个矩阵，我们只需将上面的矩阵求逆。幸运的是，因为我们选择了

e0

和

e1

作为正交矩阵，所以上面的矩阵是正交的，所以它的逆矩阵是它的转置：

    | x3 y3 0|
R = |-y3 x3 0|
    |  0  0 1|

现在，如果我们将

R

应用于

u'

和

v'

，我们最终得到向量（1，0）和（-1，0），这就是我们想要它们的位置。现在的问题是我们想要画出的椭圆不一定有单位高度。例如，如果我们把它的高度称为h，那么我们将画出一条椭圆路径，其中有半长轴h和半短轴1。但这很容易通过另一个坐标变换来纠正，这一次，通过系数

1/h

缩放corodinate系统的高度，使我们要跟踪的椭圆的高度为1。这可以通过以下缩放矩阵完成：

    | 1  0  0 |
S = | 0 1/h 0 |
    | 0  0  1 |

此设置之所以有用，是因为我们知道，如果我们在

u

和

v

之间的所需椭圆上取任意点，然后对其应用矩阵

SRT

，那么我们将最终将其转换为使用单位圆上的对应点，即从（1，0）到（-1，0）的路径。然而，更重要的是，这反过来起作用。如果我们将

SRT

的倒数应用于单位圆上的任何点，我们最终得到

u

和

v

之间原始椭圆路径上的对应点！为了达成交易，我们知道如何找到从（1，0）到（-1，0）的路径上的点，因此我们有一个算法来解决这个问题：

对于给定的时间

t

，如果您在时间

t

从（1，0）移动到（-1，0），请找到您在单位圆上的位置。称之为

p

计算p'=（SRT）-1p

p'

是您要寻找的重点

那么，问题是（SRT）-1是什么。幸运的是，我们有（SRT）-1=T-1R-1S-1，所有这些矩阵都可以轻松计算：

     | 1  0 -x2 |          | 1  0  x2 |
 T = | 0  1 -y2 |   T^-1 = | 0  1  y2 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

     | x3  y3  0|          | x3 -y3 0 |
 R = |-y3  x3  0|   R^-1 = | y3  x3 0 |
     |  0   0  1|          |  0   0 1 |

     | 1  0   0 |          | 1  0   0 |
 S = | 0 1/h  0 |   S^-1 = | 0  h   0 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

简言之，最终算法如下：

e0 = u' / ||u||
e1 = perp(e0)

给定u=（x0，y0）和v=（x1，y1），设w=（x2，y2）=（（x0+x1）/2，（y0+y1）/2）

让u'=u