Java 给定3个矢量和角度，如何找到第四个矢量，以便通过所有矢量形成2条线段

我有一条线段，由两个向量组成，比如v1和v2，一个向量v3和一个角度a。我如何用Java编写一个方法（我也在使用Apache Commons Math来表示一个向量）给我一个向量v4，这样线段v1-v2和v3-v4就成了角度a？有无限的v4元素，如果我能为该方法指定一个大小，使线段v3-v4具有该大小，那就更好了。（全部在2d空间中，角度可以是弧度或度数，无所谓）

编辑：正如我承诺的那样，我已经包含了我试图解决的问题的图像。我有一个线段，由两个向量（直线有点长，但没关系）、一个角度和第三个点定义。我需要画第二条线，它与第一条线以a角相交。由于Javafx（我在这里使用）中的所有线条都是通过定义两点来绘制的，所以我需要找到红点（或任何可能的点）。

编辑：使用阿里的答案，我得到了以下方法，满足了我的需要：

public Pair<Vector2D, Vector2D> calculateFourthPoint(Vector2D v1, Vector2D v2, Vector2D v3, double angleInDegrees) {
    Vector2D r = v1.subtract(v2);
    double rx = r.getX();
    double ry = r.getY();
    double angle = toRadians(angleInDegrees);

    double a = pow(rx, 2) + pow(ry, 2);
    double b = 2 * sqrt(pow(rx, 2) + pow(ry, 2)) * cos(angle) * rx;
    double c = pow(rx, 2) * pow(cos(angle), 2) + pow(ry, 2) * pow(cos(angle), 2) - pow(ry, 2);
    double discriminant = sqrt(pow(b, 2) - (4 * a * c));

    double sx1 = (-b + discriminant) / (2 * a);
    double sx2 = (-b - discriminant) / (2 * a);

    double sy1 = sqrt(1 - pow(sx1, 2));
    double sy2 = sqrt(1 - pow(sx2, 2));

    Vector2D s1 = new Vector2D(sx1, sy1);
    Vector2D s2 = new Vector2D(sx2, sy2);

    Vector2D v4_1 = v3.subtract(s1);
    Vector2D v4_2 = v3.subtract(s2);

    return new Pair<Vector2D, Vector2D>(v4_1, v4_2);
}

public Pair calculatefurthpoint（vector2dv1、vector2dv2、vector2dv3、双角度索引）{
向量2d r=v1减去（v2）；
双rx=r.getX（）；
双y=r.getY（）；
双角度=环面（角度指数）；
双a=功率（rx，2）+功率（ry，2）；
双b=2*sqrt（功率（rx，2）+功率（ry，2））*cos（角度）*rx；
双c=功率（rx，2）*功率（cos（角度），2）+功率（ry，2）*功率（cos（角度），2）-功率（ry，2）；
双判别式=sqrt（pow（b，2）-（4*a*c））；
双sx1=（-b+判别式）/（2*a）；
双sx2=（-b-判别式）/（2*a）；
双sy1=sqrt（1-功率（sx1，2））；
双sy2=sqrt（1-功率（sx2，2））；
Vector2D s1=新的Vector2D（sx1，sy1）；
vector2ds2=新的Vector2D（sx2，sy2）；
向量2d v4_1=v3.减法（s1）；
向量2d v4_2=v3.减法（s2）；
返回新对（v4\u 1、v4\u 2）；
}

我不懂Apache Commons的数学，所以我用伪代码编写。让

vx

和

vy

分别表示向量

v

的

x

和

y

分量

让

r=v1-v2

和

s=v3-v4

。你有两个未知数（即

sx

和

sy

；和

v4=v3-s

），所以你需要两个方程。这些应该是：

dot_product(r,s)=length(r)*cos a // forces the desired angle

dot_product(s,s)=1 // just sets the length of s to 1

为了说明这一点，上述方程式为：

(1)    rx*sx + ry*sy = sqrt(rx^2+ry^2)*cos a

(2)    sx^2 + sy^2 = 1

第一个方程在

sx

和

sy

中都是线性的。让我们从第一个方程中去掉

sy

（假设

ry

不是零）

并将该

sy

代入第二个等式。你可以在sy中得到一个二次方程（我不想在这里写它，因为它很复杂），它有两个解。通过将

sy

值代入（假设

rx

不为零），可以得到相应的

sx

：

---

最后，

v4=v3-s

您可以得到v4的两个解，二次方程的每个解一个。（退化情况，例如

r

为空向量，在我的回答中被忽略。）

我不懂Apache Commons数学，所以我用伪代码编写。让

vx

和

vy

分别表示向量

v

的

x

和

y

分量

让

r=v1-v2

和

s=v3-v4

。你有两个未知数（即

sx

和

sy

；和

v4=v3-s

），所以你需要两个方程。这些应该是：

dot_product(r,s)=length(r)*cos a // forces the desired angle

dot_product(s,s)=1 // just sets the length of s to 1

为了说明这一点，上述方程式为：

(1)    rx*sx + ry*sy = sqrt(rx^2+ry^2)*cos a

(2)    sx^2 + sy^2 = 1

第一个方程在

sx

和

sy

中都是线性的。让我们从第一个方程中去掉

sy

（假设

ry

不是零）

并将该

sy

代入第二个等式。你可以在sy中得到一个二次方程（我不想在这里写它，因为它很复杂），它有两个解。通过将

sy

值代入（假设

rx

不为零），可以得到相应的

sx

：

---

最后，

v4=v3-s

您可以得到v4的两个解，二次方程的每个解一个。（退化情况，例如

r

为空向量，在我的回答中被忽略。）

遗憾的是，我们不能在这里建立乳胶式方程（或者我们可以？我不知道，从来没有在这里做过…），但这里是：

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2| * |v3-v4| * cos(a)   (by definition)

将

|v3-v4 |

定义为单位向量，以便

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2|*1*cos(a) = |v1-v2|*cos(a)

将左手侧向外移动会使

v1·v4 + v2·v4 = |v1-v2|*cos(a) - v1·v3 + v2·v3

或

当

所以，在两个未知数中有两个方程。现在，为了简单起见

aa  = (v1+v2|x
bb  = (v1+v2|y
x1 = v4|x
x2 = v4|y
A  = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

其中，

|x

表示

x

-组件等。通过这一点，简单的替换给了我们

( (A-aa*x1)/bb )^2 + (aa*x1)^2 = 1     (-> 2 solutions)
( (A-bb*x2)/aa )^2 + (bb*x2)^2 = 1     (-> another 2 solutions) 

解决方案有点凌乱，无法写在这里，但它们很简单，很容易解决

然后，您就有了4个唯一的向量，它们位于

v3

周围的一个单位圆上（见图）。这4个向量只产生2条不同的线，但找到所有4个向量仍然是一个好主意（作为自检，并提高稳健性——可能存在一些边缘情况，其中一个向量会发生灾难性抵消）

哪一行最适合您，当然取决于您的用例

无论您选择什么解决方案，您当然应该始终验证

arccos(((v1-v2)·(v3-v4))/|v1-v2|) = a

应该如此

---

可惜我们不能在这里做乳胶式方程式（或者我们可以吗？我不知道，从来没有在这里做过…），但这里是这样的：

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2| * |v3-v4| * cos(a)   (by definition)

将

|v3-v4 |

定义为单位向量，以便

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2|*1*cos(a) = |v1-v2|*cos(a)

将左手侧向外移动会使

v1·v4 + v2·v4 = |v1-v2|*cos(a) - v1·v3 + v2·v3

或

当

所以，在两个未知数中有两个方程。现在，为了简单起见

aa  = (v1+v2|x
bb  = (v1+v2|y
x1 = v4|x
x2 = v4|y
A  = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

其中，

|x

表示

x

-组件等。通过这一点，简单的替换给了我们

( (A-aa*x1)/bb )^2 + (aa*x1)^2 = 1     (-> 2 solutions)
( (A-bb*x2)/aa )^2 + (bb*x2)^2 = 1     (-> another 2 solutions) 

解决方案有点太混乱了