Language agnostic 确定经纬度矩形和球体上的圆是否重叠

假设我有以下几点：

• 由最小和最大纬度和经度定义的区域（通常为“lat-long-rect”，但除了某些投影外，它实际上不是矩形）
• 一个圆，由一个中心纬度/长度和一个半径定义

我如何确定：

两个形状是否重叠

圆是否完全包含在矩形中

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我在寻找一个完整的公式/算法，而不是数学课程本身。

警告：如果圆/矩形跨越球体的大部分，这可能会很棘手，例如：

“矩形”：最小长度=-90度，最大长度=+90度，最小横向=+70度，最大横向=+80度

圆：圆心=纬度=+85度，长=+160度，半径=20度（例如，如果点A在圆上，点C是圆的圆心，点O是球体的圆心，则角度AOC=40度）

这些交叉点，但数学可能有几种情况来检查交叉点/包容。以下点位于上述圆上：P1=（+65度纬度，+160度长），P2=（+75度纬度，-20度长）。P1在“矩形”外，P2在“矩形”内，因此圆/矩形至少相交2点

好的，下面是我对解决方案的概述：

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设C=半径为R的圆心（如上所述，用球面角表示）。C有纬度LATC和经度LONGC。因为“矩形”这个词在这里有点误导（恒定纬度的线不是大圆的线段），所以我将使用术语“边界框”

• 函数

  内圆（p）

  返回+1,0或-1:如果点p在圆内，返回+1；如果点p在圆上，返回0；如果点p在圆外，返回-1：计算大圆距离D（表示为球面角）在C和任何点P之间，都会告诉你P是否在圆圈内：

  InsideCircle（P）=符号（R-D）

  （正如user@Die in Sente提到的，在这个论坛的其他地方已经询问了很大的圆圈距离）

• 定义

  PANG（x）

  =x=MOD（x+180度，360度）-180度的主角度<代码>倾斜（x）始终在-180度和+180度之间，包括（+180度应映射到-180度）

• 要定义边界框，您需要知道4个数字，但经度有一个小问题。LAT1和LAT2表示边界纬度（假设LAT1
  • LAT1这个怎么样
    查找将矩形中心点

    Cr

    连接到圆中心的向量

    v

    。查找与矩形相交的点

    i

    。如果

    |i-Cr |+r>| v | |

    则它们相交
    换句话说，矩形内线段的长度加上圆内线段的长度应大于总长度（v

    v

    ，中心连接线段）
    查找点

    i

    应该是个棘手的部分，特别是当它落在经度边缘时，但是你应该能够比我更快地找到一些东西
    编辑：此方法无法判断圆是否完全在矩形内。您需要找到从其中心到矩形所有四条边的距离

    ---

    编辑：上述内容不正确。正如Federico Ramponi所建议的，在某些情况下，它甚至在欧几里德几何中也不起作用。我将发布另一个答案。请不要接受这一点，请随意投反对票。我很快就会删除它。
    再试试这个
    我认为解决方案是测试一组点，正如Jason S所建议的，但我不同意他选择的点，我认为这在数学上是错误的
    您需要在lat/long框的侧面找到点，其中到圆中心的距离为局部最小值或最大值。将这些点添加到角点集，则上述算法应该是正确的
    也就是说，让经度为x维，纬度为y维

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    框的侧面是o的参数曲线P（t）=P0+t（P1-P0）。对于欧几里德几何答案，请参见：

    这适用于地球上的任何点。如果要将其更改为不同大小的球体，只需将kEarchRadiusKms更改为球体所需的任意半径

    此方法用于计算到lat和lon点之间的距离
    我从这里得到了这个距离公式：
    如果矩形的任何顶点之间的距离小于圆半径的距离，则圆和矩形重叠。如果圆心与所有顶点之间的距离大于圆的半径，且所有这些距离都小于矩形的宽度和高度，则圆应位于矩形的内部
    如果你能发现我的代码有问题的话，请随意修改我的代码

    public static double Calc(double Lat1, double Long1, double Lat2, double Long2)
    {
        double dDistance = Double.MinValue;
        double dLat1InRad = Lat1 * (Math.PI / 180.0);
        double dLong1InRad = Long1 * (Math.PI / 180.0);
        double dLat2InRad = Lat2 * (Math.PI / 180.0);
        double dLong2InRad = Long2 * (Math.PI / 180.0);
    
        double dLongitude = dLong2InRad - dLong1InRad;
        double dLatitude = dLat2InRad - dLat1InRad;
    
        // Intermediate result a.
        double a = Math.Pow(Math.Sin(dLatitude / 2.0), 2.0) +
                   Math.Cos(dLat1InRad) * Math.Cos(dLat2InRad) *
                   Math.Pow(Math.Sin(dLongitude / 2.0), 2.0);
    
        // Intermediate result c (great circle distance in Radians).
        double c = 2.0 * Math.Atan2(Math.Sqrt(a), Math.Sqrt(1.0 - a));
    
        // Distance.
        // const Double kEarthRadiusMiles = 3956.0;
        const Double kEarthRadiusKms = 6376.5;
        dDistance = kEarthRadiusKms * c;
    
        return dDistance;
    }
    

    public string Test(double cLat,
        double cLon,
        double cRadius,
        double rlat1,
        double rlon1,
        double rlat2,
        double rlon2,
        double rlat3,
        double rlon3,
        double rlat4,
        double rlon4)
    {
        double d1 = Calc(cLat, cLon, rlat1, rlon1);
        double d2 = Calc(cLat, cLon, rlat2, rlon2);
        double d3 = Calc(cLat, cLon, rlat3, rlon3);
        double d4 = Calc(cLat, cLon, rlat4, rlon4);
    
        if (d1 <= cRadius ||
            d2 <= cRadius ||
            d3 <= cRadius ||
            d4 <= cRadius)
        {
    
            return "Circle and Rectangle intersect...";
        }
    
        double width = Calc(rlat1, rlon1, rlat2, rlon2);
        double height = Calc(rlat1, rlon1, rlat4, rlon4);
    
        if (d1 >= cRadius &&
            d2 >= cRadius &&
            d3 >= cRadius &&
            d4 >= cRadius &&
            width >= d1 &&
            width >= d2 &&
            width >= d3 &&
            width >= d4 &&
            height >= d1 &&
            height >= d2 &&
            height >= d3 &&
            height >= d4)
        {
            return "Circle is Inside of Rectangle!";
        }
    
    
    
        return "NO!";
    }