Language agnostic 规划问题递归解决方案的最佳方法是什么？

我正在学习递归。我用递归解决了其他一些问题，比如创建二叉树、河内塔等等。因此，我理解递归是什么，但我发现自己很难规划和实现正确的递归解决方案

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对于规划、思考或实施问题的递归解决方案，有什么一般性的建议吗？

基本上，只需考虑两件事：

• 这个问题是否可以用相同（或类似）的问题来表示，但要使用“更简单”的参数
• 是否有一个明确的点，使这个更容易的问题变得微不足道

您会发现这些属性适用于所有经典递归算法，如二进制搜索、树遍历、排序/合并、阶乘计算、最大公分母计算等（a）

如果这两个条件都满足，问题可能适合于递归解

我之所以说“可能”，是因为即使是具有这些属性的问题也不总是适合递归，例如：

// Add two unsigned inetegers.
unsigned int add (unsigned int a, unsigned int b) {
    if (a == 0)
        return b;
    return add (a - 1, b + 1);
}

现在，虽然这是一个有点有效的递归解决方案（尽管有点做作），但当初始

a

很大时，几乎肯定会耗尽堆栈空间。换句话说，现实世界将影响数学思想的纯洁性

（a） 您可能想知道为什么上面的

add

与GCD或阶乘计算之间存在差异。答案通常在于每次递归调用减少“搜索空间”（所有可能结果的列表）的速度

例如，遍历平衡二叉树将在每次调用中消除大约一半的剩余搜索空间。GCD计算执行模数运算，这也合理快速地减少了搜索空间

然而，

add

函数并没有很快地减少搜索空间，这就是为什么它不适合递归

阶乘1也不会迅速减少搜索空间，因为它会从每次递归调用的参数中减去一个（类似于

add

）

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然而，人们仍然使用它，可能是因为在递归调用的数量产生影响之前（64位无符号整数只能容纳20个左右），阶乘的存储空间就已经用完了。

通常，为了设计递归算法，您需要处理几个任务。我将以河内塔问题为例，因为它非常符合这一要求

首先也是最重要的一点是，确保您可以从递归定义的角度看到问题本身。具体来说，您希望确定如何将整个问题描述为在一个类似的、较小的子问题上加上固定的工作量

对于河内塔问题，移动一个大小为N的塔与移动N-1和一个圆盘的塔基本相同，这是一个非常简单的例子。但是，如果不知道解决方案，就无法立即看出哪个磁盘应该是N+1；顶部或底部。我们需要更多的信息

下一部分，实际上是上述问题的子集，是考虑终止条件；您必须知道何时停止递归。如果您在算法中错过了这一步，您将陷入无限循环或数据结构溢出

移动大小为1的塔与移动单个磁盘完全相同；没有理由重复。换一种说法，移动一座大小为零的塔等于什么都不做，你可以完全跳过它

最后,；你必须确定你的问题定义的不变量，以便指导你实际工作的方式。它基本上归结为找到算法必须做的事情，使较小的子问题看起来确实像较大的问题，然后仅在这些条件下递归

河内塔的具体要求是，不允许任何圆盘停留在较小圆盘的顶部。换句话说，你不允许把塔放在比塔的底部圆盘小的圆盘上。关于这个问题的一些更多的推理将使我们得出这样的结论：如果我们在中间某个点分裂塔，并将分裂下面的圆盘重新排列成任意的，但有效的排列，那么分裂上面的塔可以在这些重新排列的盘的任何一个上面，因为每一个都必须比分割时的磁盘大。在拆分上方重新排列磁盘时，不能出现类似情况；顶部磁盘的顶部不允许任何内容

总的来说，这意味着我们必须自下而上地工作；在底部圆盘上划分塔。这也意味着退化情况，n=1，正在移动顶部磁盘。因此，递归算法是递归地将N-1个磁盘移到一边，将第N个磁盘移到目标位置，然后将N-1个磁盘移到目标位置

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如果这还不足以作为指导，那么您可能想问一个更具体的问题

递归是关于在解决问题的过程中识别“自相似性”。一个典型的递归例子，计算正整数的阶乘，很好地说明了这个过程

因为阶乘，

n，定义为
n*（n-1）*（n-2）.*1
，您应该能够看到

n！=n*（n-1）

换句话说，n的阶乘是“n乘以（n-1）的阶乘”

如果您能够理解该语句，以及它如何表现出“自相似”行为，那么您已经做好了处理递归的准备。编程递归的关键是确定何时停止，而不是执行递归调用。在阶乘的情况下，当您试图确定的数字t
public static int factorial(int n)
{
    if (n == 1)//I'm done
        return 1;
    return n * factorial(n - 1); //continue with the recursion
}