Math 关于dx的离散数值导数>；1.

如何为d/d（n*x）运算符生成模具

我正在写一个程序，需要计算图像中的线导数。如果我们想要计算关于d/dx的最简单导数近似值，我们可以运行以下操作：

diff[x] = -1.0 * image[x] + image[x+1]

如果我想要更精确地计算导数，我可以增加模具的大小，并可能重新计算为：

diff[x] = -3./2 * image[x] + 2*image[x+1] - 1./2 * image[x+2]

我一直在使用有限差分法来获得这些系数

现在假设我想对d/d（3*x）求导数，我可以简单地拉伸原始模板，如下所示：

diff[x] = -1.0 * image[x] + image[x+3]

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然而，这里我没有使用来自图像[x+1]和图像[x+2]的信息，因此导数近似可以大大改进。如何生成使用此信息从而更准确的模具？

根据我对您问题的理解，我建议propoise以所需分辨率（例如除以3）生成二次采样图像，然后应用原始导数计算方法。子采样程序应首先在图像上应用低通滤波器（例如，使用方框或高斯模糊）来进行适当的抗失真处理。

两个建议：

• 首先，一般来说，使用中心计算。因此，高阶一阶导数是

  0.5*（image[x+1]-image[x-1]）

• 其次，使用链公式推导“关于3x”。在其最简单的形式中，形式上，

  df/dy=df/dx*dx/dy

  ，这意味着

  dImage/d（3x）=dImage/dx*（1/3）

  简而言之，就是除以3

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为什么不使用d/d（n*x）=d/d（x）/n？取d/dx（4x^2），然后用y=2*x，取d/dy（y^2），你就已经回答了你的问题。d/dx（4x^2）=8*x；d/dy（y^2）=2*y=4*x=d/dx（4x^2）/2So，在这种情况下它是有效的。哎呀，这个公式乍一看似乎是有效的。无论如何，使用d/dx主要只依赖于2或3个像素，容易受到噪声的影响，而且，在重新缩放图像时，结果会有所不同。这是一个不一致的结果。数学堆栈交换的人也无法理解，所以我使用了你的方法。我不是对图像进行下采样，而是对内核进行上采样，在非零滤波器系数之间添加零填充。即使这不是一个理想的解决方案，它也可以很好地工作。在这种情况下，您也可以尝试傅立叶对导数的解释（将FFT乘以j*omega）。