Math 从两对三点（或两对两个向量）导出轴/角度旋转

请注意，尽管听起来很相似，但这不是常见的“如何将一个向量旋转到另一个向量”问题

我想从两组3个点导出仿射变换（矩阵或四元数+向量形式）。这些可以被视为刚体上的“标记点”，或“向前和向上”向量的端点。 需要平移和旋转，不需要缩放。此外，四元数+向量解决方案将是一个加号，因为它允许我在一个绘图批中再填充1/3个实例（8个而不是12个）。 其目的是建立一个系统，以直观的方式确定（关节或非关节）ridid身体的姿势，而无需维持和行走复杂的层次结构

第一个明显的简化是通过选取一个点并从相应的“起点”减去“终点”来删除平移部分。现在我们只需要处理一个轮换

有一种众所周知的、在计算上廉价的方法来构造一个向量旋转到另一个向量的四元数，即单位长度向量的q（交叉（v1，v2）；sqrt（v1.len_sq*v2.len_sq）+dot（v1，v2））或q（交叉（v1，v2）；1+dot（v1，v2））。不幸的是，这种方法没有“向上方向”的概念，因此总是在最短的圆弧上旋转（这将使对象错位）。 简单的做法是对两个向量都使用这种方法并将四元数相乘，但显然不会那么容易。 我们需要做的是从两个向量中选择一个（我们称之为“向前”），并为这个向量创建一个四元数，然后使用这个四元数旋转另一个（“向上”）向量，然后为旋转的“向上”向量（和目标“向上”向量）构造第二个四元数，最后将第二个四元数乘以第一个四元数。据我所知，这是正确的，但也非常复杂

现在。。。至于旋转矩阵，我知道“三元组方法”，我的理解如下： -正交规范化向量对（起点和终点） -这将产生两个正交基，它们是从“公共参考系”开始和结束的各自旋转矩阵。不管这到底是什么参照系，重要的是两者都是一样的。 -S是从“公共帧”到开始帧的变换，D分别是到结束帧的变换。 -因此，S-1*D*v将任意点从起点坐标系转换为终点坐标系（通过公共参照系）。 -S-1==ST，因为它是正交矩阵，并且ST*x=x*S -因此：ST*D*v=D*S*v

这应该是可行的，但对于一些实际上应该非常非常简单的事情来说，它仍然显得相当复杂

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是否有更简单、更直接的解决方案？

仅处理旋转部分，您的第二种方法会有效，我怀疑它会很有效。或者，您可以使用这两种方法的混合，这可能会更容易一些。假设上面构造的两对向量，每对向量都在自己的向量空间中。计算每对的正交基，在一个向量空间中称之为X0和X1，在另一个向量空间中称之为其对应的向量Y0和Y1。现在必须计算两个四元数旋转：

1） q0将X0和X1分别旋转到X'0和X'1，使得X'0=Y0。现在，X'1和Y1应与平面法线X'0=Y0共面

2） q1将X'1旋转至X''1=Y1。你需要做的就是计算向量之间的角度，因为你已经知道旋转向量就是X'1xy1=X'0=Y0

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你可以计算q=q1*q0，在一个步骤中执行旋转。

我们必须解决这个完全相同的问题。我是这样做的：

调用点p和W，我们有P1..P3和W1..W3

在每个空间中构造三个向量，如下所示

A1 = P2-P1
A2 = P3-P1
A3 = A1 x A2

及

这两对三个向量各自构成一个非正交基，您需要了解如何在一个空间中表示笛卡尔轴（xy和z），以便在另一个空间中找到它们。为此，构造一个矩阵，使其列为上述三个向量。然后将该矩阵求逆，如果该求逆失败，则非正交基不跨越空间，问题无法解决

然后将三列从倒置矩阵中拉出。根据非正交基（V1、V2和V3），这些列是笛卡尔坐标轴。由此，我们可以重构一个正交基，作为从第一个空间到第二个空间的变换矩阵

如果我们将此矩阵称为R，并将R[行，列]表示为我们的符号，那么最终转换矩阵的行（或列，取决于您使用矩阵的方式）将为：

B1 * R[0,0] + B2* R[1,0] + B3 * R[2,0]
B1 * R[0,1] + B2* R[1,1] + B3 * R[2,1]
B1 * R[0,2] + B2* R[1,2] + B3 * R[2,2]

现在，因为反演之前原始矩阵的一列是其他两列的交叉，所以可能会优化矩阵的反演。我没有费心去做这件事，尤其是因为在我们的例子中，三个点P1..P3不会改变，所以倒矩阵可以被缓存

这种方法的优点是，如果你有一个半体面的矩阵/向量库，它的实现非常简单。而且它不使用角度，这总是一件好事。

你的“极其复杂”的四元数解通常不起作用。必须将第二对向量投影到与第一个旋转轴正交的平面上，以确保第二个旋转与第一个旋转正交

如果您感兴趣，我已经在我的博客中描述了该原则：

旋转前：u0，v0。旋转后：u2，v2

Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();

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我不确定这是否是您想要的解决方案，但代码运行速度惊人。

我相信这是

http://math.stackexchange.com/<
Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();