Math 分区中可能的组合数

给定的是大小为n的集合S，该集合被划分为大小为n1，…，nk的类（s1，…，sk）。自然地，它认为n=n1+…+nk

我感兴趣的是找出可以组合此分区元素的方法的数量，以便每个组合只包含每个类的一个元素

因为我可以从s1中选择n1元素，从s2中选择n2元素等等，所以我正在寻找任意n1，…nk的max（n1*.*nk）的解，其中n1+..+nk=n

---

我觉得这是一个线性优化问题，但我已经很久没有在大学里学过这个了。我希望有人记得如何计算它。

您正在寻找每个分区中一个元素的组合数

这就是n1*n2*…*nk

编辑： 你似乎也在问一个单独的问题：

给定N，我如何分配n1，n2，…，nk，使它们的乘积最大化。这实际上不是一个线性优化问题，因为变量是相乘的

它可以通过一些微积分来解决，即在每个变量中使用部分导数，并使用拉格朗日乘子进行约束

结果将是n1。。nk应尽可能接近相同的大小

if n is a multiple of k, then n_1 = n_2 = ... = n_k = n/k

otherwise, n_1 = n_2 = ... = n_j = Ceiling[n/k]
      and  n_j+1 = ... = n_k = floor[n/k]

基本上，我们尝试将元素尽可能均匀地分布到分区中。如果他们平均分配，那就太好了。如果没有，我们将尽可能平均地划分，剩下的部分，我们将为第一个分区分别提供一个额外的元素。（不必是第一个分区，这个选择是相当随意的。）这样，任何两个分区所拥有的元素数量之差最多为一个

血淋淋的细节：

这是我们希望最大化的产品功能：

p=n1*n2*…nK

我们使用拉格朗日乘数定义了一个新函数：

λ=p+l（N-n1-n2…-nk）

在每个k n_i变量中取偏导数：

dLambda/dn_i=p/n_i-l

在l中：

dLambda/dl=N-n1-n2-nk

将所有的偏导数设为0，我们得到一个k+1方程组，当我们解它们时，我们得到n1=n2=…=nk

一些有用的链接：

--马库斯克

另外，对于你给出的S={1,2,3,4}，n=4，k=2的例子，这给出了：

floor(4/2)^(2 - 4 mod 2)*ceil(4/2)^(4 mod 2)
floor(2)^(2 - 0)*ceil(2)^(0)
2^2 * 2^0
4 * 1
4

…如你所愿

为了澄清这一点，该公式给出了分区生成的置换数量，以及置换的最大可能数量。当然，还会有其他不太理想的划分

对于给定的周长，面积最大的矩形是最接近正方形的矩形（在更高的维度中也是如此），这意味着您希望边的长度尽可能接近相等（例如，所有平均长度向上或向下四舍五入）。然后可以看出公式为：

   (length of short sides)^(number of short sides)
times
   (length of long sides)^(number of long sides)

这就是满足此约束的超矩形的体积

---

注意，以这种方式查看时，它还告诉您如何构造最大分区。

这里似乎有两个独立的问题。组合总数的解决方案如下所述。这里还有一个优化问题？我希望下面的内容能有所帮助。这是一个微积分的话题，需要花一段时间来复习，但简而言之就是这样。非常感谢Rob。这似乎有助于我更接近一个解决方案。如果您有后续问题，请在中添加另一条评论（或编辑问题，如果您愿意）。我在下面的问题中放弃了很多微积分，但结果是：如果n是k的倍数，那么n1=n2=…=如果没有，情况也不会复杂得多。那么n1=n2=…=nj=天花板[n/k]和n_j+1=n_j+2=…=n_k=floor[n/k]其中j=n mod kNo，问题是我不知道前面的n1，…，nk。对于每个n，我想知道最大最坏的情况。例如，设S={1,2,3,4}，然后我可以分成两部分，使得n1=0，n2=4或n1=1，n2=3或n1=2，n2=2或。最后一个分区产生了4个组合，这是我要寻找的值。哦，我看到了优化的作用。编辑输入。嗨，马库斯。非常感谢你的回答。这似乎是在正确的轨道上，但是，如果我没有弄错的话，那么你的公式就不能给出正确的答案，例如，对于n=6和k=3。你的公式是8，但我最多只计算6个组合，例如，对于分区1 | 23 | 456。@ericbodden 12 | 34 | 56给出8。我的理解是你在寻找最大值，对吗？哦，我的错。你是对的。显然我错过了那个案子。谢谢你介意给我两句话解释一下这个公式为什么有效吗？@ericbodden没问题。如果你喜欢，你介意点击复选标记指定这是被接受的答案吗？非常感谢，这对我来说很有意义。

   (length of short sides)^(number of short sides)
times
   (length of long sides)^(number of long sides)