Math 证明这一点！对于任何常数自然数p，不在O（n^p）中

我怎样才能证明这一点呢！对于任何常数的自然数p，是否不在O（n^p）中？

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（nk）（n选择k）在O（n^p）中吗？对于所有k？

你可以证明n！对于任何常数自然数p，都不在O（n^p）中，这表明您始终可以选择n（对于固定常数p），因此

n！>n^p

（为了得到一个想法，选择一些较低的p值，并绘制n！与n^p的对比图）

第二部分的推理遵循同样的思路。绑定（n选择k），然后使用第一部分

提示：正如卡萨布兰卡所说，你可以使用

log (n!) = n log n - n + O(log n) = O(n log n)

但是

对于常数

p

。显然

n的增长速度比
n^p
快，因此它不是
O（n^p）
编辑（2011年3月）-仅使用简单微积分的更简单方法

显示O（n！）不等于O（n^p）的一种方法是比较n的对数！用n^p的对数

ln（n！）=sum（ln（i））{i:1到n}

ln（n^p）=p*ln（n）

这似乎没有帮助，因为我们不知道日志的总和是多少。诀窍是使用ln（i）di从1到n的积分来计算下限

从下图可以看出，黑色的ln（x）小于蓝色的和阶跃函数


假设ln（i）di的不定积分为i*ln（i）-i+C，我们可以从1积分到n得到：

n*ln（n）-n+1作为下界

因为不能选择大于所有可能n的p：

O（pln（n））
注：积分ln（n）得到ln（n！）的近似值是斯特林近似的基础。这是一个粗略的近似值，如果您继续使用反日志：n！>=e*（n/e）^n，而斯特林的是sqrt（2*pi*n）而不是e

从1积分到n+1会得到一个上界（求和步长函数将适合ln（n）的图形）
@Mitch:如果你给出了一个答案，我会向上投票。@Tony:准确地说，对于所有n>n0，其中n0是一个正整数。不能选择单个值n。反例：p=10，n=2。2^10 > 2!.对不起，我应该修改那条评论。反驳O（n^p）：给定p，则对于任何n0>0，存在一个（单个）值n>n0，使得n！>不用斯特林近似，你也可以注意到log（n！）=log（n）+log（n-1）+…+log（2）+log（1）。log（1）=0，因此每隔一项必须至少为log（2）或更大。这就给出了log（n！）>nlog（2），这当然意味着它是O（n）。正如你所注意到的，它实际上是O（nlogn），但是O（logn）的增长速度也比O（logn）快得多。我试图不为他们做家庭作业；）。但我可能应该暗示一下斯特林的阶乘近似。
log (n^p) = p log n = O(log n)