Math 如何创建收益递减的公式？

我想这是一个数学问题，而不是一个编程问题，但创建一个收益递减公式的好方法是什么

下面是一些我希望曲线看起来如何的示例点

f(1) = 1
f(1.5)= .98
f(2) = .95
f(2.5) = .9
f(3) = .8
f(4) = .7
f(5) = .6
f(10) = .5
f(20) = .25 

请注意，随着输入的增加，百分比会迅速降低。有没有什么方法可以建立一个函数模型，它有一条非常平滑和精确的曲线来表达这一点

另一种说法是使用真实的例子。你知道暗黑破坏神2里面有魔法发现吗？魔法发现的回报是递减的。如果你得到100%，真正神奇的发现仍然是100%。但是得到的越多，你真正的魔法发现就会下降。这么说来，如果你有1200个，你真正的神奇发现可能是450%。因此，它们具有如下功能：

actualMagicFind(magicFind) = // some way to reduced magic find

f（x）=f（0）e-rx
式中，r是复合递减回报率

---

这只是指数衰减

任何逆指数函数，例如。修改指数以调整曲线的陡度

f（1）=1
f（1.5）=.98
f（2）=.95
f（2.5）=.9
f（3）=.8
f（4）=.7
f（5）=.6
f（10）=.5
f（20）=.25

这是没有意义的：对于3-5，每次加一减1。对于实曲线，输出不会在任何均匀间隔的输入之间均匀间隔。换句话说，您的曲线不是曲线，如图所示：

让我们忽略你的“曲线”；有几种方法可以创造递减回报。我最喜欢的是：

f（x）=（x*a）/（x+b）+c

您可以制作

a

、

b

和

c

任何您想要的东西。使用此格式，

a+c

基本上*成为您的最大可能输出，

c

是您的最小输出，

b

控制输出值的缩放速度及其相对于

a

值的有效性。当然，这条曲线随着输入的增加而增加输出，而您的示例希望随着输入的增加而减少输出。要解决此问题，可以交换分子和分母：

f（x）=（x+b）/（x*a）+c

这使得最小输出值等于

1/a+c

，当输入值接近0时，最大输出值接近无穷大

b

再次控制输出缩放的速度及其有效性相对于

a

的值

---

另一种方法是使用@Pierreten提到的东西，尽管我不确定他为什么明确使用

e

：

a^（-bx）

a

和

b

都会对曲线的缩放速度产生深远影响。如果

a

大于0且小于1，则输出将随着输入的增加而增加，但也会产生相反的效果，这意味着它的回报将增加，而不是减少。如果

a

大于1，那么您将看到输出的预期效果随着输入的增加而减少，同时回报也在减少。以下是我发现的与您描述的数字最接近的东西：

f（x）=1.01^（-6.96607x）
f（0）=1
f（1）=0.933
f（3）=0.812
f（10）=0.5
f（20）=0.25

---

还有其他几种选择，但这已经足够长了。

是的，这叫做插值，数值分析的一个分支处理这个问题。这个问题应该转移到，因为它不是编程related@luke：MathOverflow用于研究级数学。我认为这是一个临界点，但好吧，因为@egervari正在尝试编写一个函数。不要在MathOverflow上发布这个。MathOverflow的人会像猎捕鹌鹑的季节一样把这个问题打倒。我投票结束这个问题，因为它是关于数学，而不是编程的。两个问题，e是什么？e是-r的幂，e是欧拉数；在“^”之后的所有内容都是exponentiated rx（上标标记），我不知道如何翻译。让我们以我上面提到的“神奇发现”为例。这里有一些例子：realMF（0）=0，realMF（100）=100，realMF（200）=180，realMF（300）=250，realMF（600）=350，realMF（1200）=450。在这种情况下，x是什么？我看了维基百科，时间到了，但我不知道目标时间；根据问题中定义的曲线上的点，它可以是时间、距离、累积魔法等；你应该能找到r。你已经知道f（0）=1；这样就简化了只处理f（x）=e^-kx的函数。插入的第二个点将产生.98=e^-（k*1.5）。通过计算两边的自然力来解决这个问题。