Math 至少包含3个连续元素的{1,2,3，…，N}子集的数目

假设我们有一个像

{1,2,3}

这样的集合，那么只有一种方法可以选择3个连续的数字。。。这是集合{1,2,3}

对于一组{1,2,3,4}我们有3种方法：

123

234

1234

（从技术上讲，这些是无序的数字集，但连续书写它们会有所帮助）

• f（5）；{1,2,3,4,5}->8种方式：

  123

  1234

  1235

  12345

  234

  2345

  345

  1345

• f（6）；{1,2,3,4,5,6}->20种方式：
• f（7）；{1,2,3,4,5,6,7}->47种方式：

对于给定的N，我可以通过施加蛮力得到答案，并计算所有这样的子集有3个或更多的连续数

在这里，我只是想找出一种模式，一种获得给定N的所有此类子集的数量的技术

---

这个问题进一步推广到……在一组大小为N的数据中发现m个连续数。

这听起来像是我的家庭作业，所以我就让你开始吧。一种方法是考虑运行的最低和最高成员，L和H。如果设置的大小为N，最小运行长度为M，那么对于L的每个可能位置P，您可以计算出H有多少个位置….

不确定您的意思是连续还是不连续。如果没有，那么对于{1,2,3,4}有4种可能性：{1,2,3,3}{2,3,4}{1,3,4}{1,2,3,4}

---

我想你可以用N来计算解/3.N！=N*（N-1）（N-2）.*1.

通过一点python代码，我们可以研究这一点：

y = set()

def cons(li, num):
    if len(li) < num:
        return
    if len(li) == num:
        y.add(tuple([i for i in li]))
    else:
        y.add(tuple([i for i in li]))
        cons(li[1:], num)
        cons(li[:-1], num)

y=set（）
def cons（li，num）：
如果len（li）

---

这个解决方案会很慢（实际上，它的复杂性是指数级的），但请尝试一些小的列表大小，我认为您应该能够找到这种模式。

在这个问题和“在某个地方一行中至少有三个连续的

1

s的N位二进制数之间有一个双射。”（如果在子集中排除，则作为数字的双射为0，如果在子集中包含，则为1）

这是一个已知的问题，应该有足够的信息供google搜索结果，如果您搜索具有m个连续1s的n位二进制字符串的数量，第二个点击是

或者，您也可以将其查找为（基于您在前几个术语中所做的暴力强迫），从而得出

2^n-Tribonaci（n+3）

，有关Tribonaci数的显式公式，请参阅。它还提供了一个递归关系。给出的类比是“概率（2^n中的一个）”在一枚普通硬币的n次投掷中至少获得1次3个头的跑步”

我只能假设一般问题的答案是2^n-Fm（n+m），其中Fm是mth（编辑：确实如此）

快速回答： 长答覆： 首先，我要重新陈述这个问题，因为你的问题陈述不够清楚

• 规则1：对于所有连续数字集1..n，其中n为2或更多

• 规则2：计算连续数m..m+q的子集S（n），其中q为2或更多

S（n=3） 经检查，我们只发现一个-123

S（n=4） 通过检查我们发现了3！-123 234和1234

请注意，S（4）包含S（3），加上两个新的数字…都包括新的数字4…嗯

S（n=5） 通过检查，我们发现……S（n=4）以及345 2345和12345。总共是3+3=6

我认为这里形成了一种模式。让我们定义一个新的函数T

• 规则3:S（n）=S（n-1）+T（n）…对于某些T

我们知道S（n）包含数字n，现在应该已经发现S（n）也包含（作为子组件）所有长度为3到n的序列，包括数字n。我们知道它们不能在S（n-1）中，所以它们必须在T（n）中

• 规则4:T（n）包含长度为3到n的以n结尾的所有序列

S（n）中有多少个序列？ 让我们回顾s（3）s（4）和s（5），并合并T（n）：

• S（3）=S（3）
• S（4）=S（3）+T（4）
• S（5）=S（4）+T（5）=S（3）+T（4）+T（5）

让我们概括一下：

• 对于从4到n的所有f，S（n）=S（3）+T（f）

那么在一个给定的T中有多少个呢

回顾规则5——它描述了多少序列

对于T（4），它描述了所有以4结尾的序列3和更长的序列

对于T（5），它描述了以5结尾的所有序列3和更长的序列。（即345 2345=2）

看起来很像T（n）就是n-2

所以

及 S（7）=15=5+4+3+2+1 S（8）=21=6+5+4+3+2+1

把它变成一个公式 2*s（8）是多少

42=6+5+4+3+2+1+1+2+3+4+5+6

将每对最大值和最小值相加：

42=7+7+7+7+7+7+7

42=7*6

但这是2*s（8），所以

S（8）=42/2=21=7*6/2

这概括了：

S(n) = (n-1)*(n-2) / 2

让我们检查一下它的工作原理：

S(3) = 2*1/2 = 1
S(4) = 3*2/2 = 3
S(5) = 4*3/2 = 6
S(6) = 5*4/2 = 10

---

我很满意。

如何有20种方法选择长度>=3的12345子字符串？我只数6。如果是作业，请将问题标记为

作业

，并说明您尝试了什么。谢谢！有6种以上。要列出一些：123 234 345 124 125 235 245 135 1234 2345 1245 134512345@DrBards124、125等等不是连续的ve数sequences@ninjagecko也许更多：1232343451234123513451345234545这不是一个家庭作业…这是我通过写算法问题的解决方案发现的模式…我相信一定有一些数学证明的解决方案在那里。嘿，我也要发同样的帖子：）。递归关系是

a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-a（n-3）-2*a（n-4），a（0）=0，a（1）=0，a（2）=1，a（3）=3。

S(6) = T(6) + T(5) + T(4) + S(3)
  10 = 4    + 3    + 2    + 1

S(n) = (n-1)*(n-2) / 2

S(3) = 2*1/2 = 1
S(4) = 3*2/2 = 3
S(5) = 4*3/2 = 6
S(6) = 5*4/2 = 10