Math 如何通过傅里叶域计算函数的导数？

我目前正在做一个项目，我必须通过求解泊松方程，从梯度重建图像，我们在傅里叶域中求解

该解决方案涉及图像的傅立叶变换和离散导数滤波器的乘积。在傅里叶域中，这被定义为两者的坐标乘积

---

我了解如何计算图像的傅立叶变换，但是我很难理解应该如何计算滤波器的傅立叶变换，因为水平差是

[0-1 1]

。我应该使用与图像相同的公式吗？这对我来说似乎很奇怪，因为在与图像的FT相乘后，我只保留FT的两个分量。

为了计算通过傅里叶域的卷积，首先用零填充核，使其与图像大小相同，然后计算图像和填充核的FFT，然后将这两个频谱相乘。填充时，将内核的原点放在正确的位置是很重要的。有关如何正确填充的详细信息，请参见

但是，要计算导数，您不希望这样做。相反，使用空间域中的导数与jω相乘的方法

[1,0，-1]

过滤器（或

[0,1，-1]

或您想要使用的任何过滤器）是导数的离散近似值。如果你通过傅里叶域，你也可以计算出精确的导数

例如，在MATLAB中，您可以执行以下操作：

a=imread（'cameran.tif'）；
A=fft2（A）；
N=尺寸（A，2）；%我们在这里计算x-导数，即MATLAB中的维数2
w=ifftshift（（0:N-1）-楼层（N/2））*（pi/N）；
B=A.*（1i*w）；%对于MATLAB R2016a及更早版本，请在此处使用bsxfun
b=实际值（ifft2（b））；

我对您的问题进行了一些编辑，如果我误解了您的问题，请回复我的更改或进一步。谢谢！我理解填充，但我不确定如何在我的情况下使用精确的导数。我使用的是本文（等式29）中解释的解决方案，其中它们除以运算符的FT@bathal：在第4节中，它已经在使用我在此建议的解决方案。i2πs与jω相同（s从-0.5到0.5，ω从-π到π）*s*x是x坐标频率，*s*y是y坐标频率。