Matlab 使用SVD解决Ax=b有什么好处

我有一个线性方程，比如

Ax=b

其中

A

是满秩矩阵，其大小为

512x512

b

是

512x1

的向量<代码>x是未知向量。我想找到

x

，因此，我有一些选项可以选择

1.使用正常方式

inv(A)*b

2.使用SVD（奇异值分解）

两种方法得出的结果相同。那么，使用奇异值分解来求解

Ax=b

，特别是在

A

是二维矩阵的情况下，有什么好处呢？

inv（A）*b

有几个负面影响。主要的一点是，它显式计算

A

的倒数，这既需要时间，而且如果值变化了许多数量级，可能会导致不准确

---

虽然它可能比

inv（A）*b更好，但在这里使用
svd
并不是“正确”的方法。MATLAB实现这一点的方法是使用，
\
。利用这一点，MATLAB根据线性系统的性质（Hermation、upper Hessenberg、实对角和正对角、对称、对角、稀疏等）选择最佳算法来求解线性系统。通常，解决方案是局部置换的LU三角剖分，但它是不同的。您将很难击败MATLABs的mldivide实现，但是如果您实际调查
U，S，V
，使用
svd
可能会让您更深入地了解系统的属性。如果你不想这样做，就用mldivide吧。
欢迎来到数值方法的世界，让我来做你的向导

作为这个世界上的一个新人，你会想，“为什么我要用这个奇异值分解（SVD）的东西来做这么困难的事情，而不是用这么广为人知的逆运算？！我要在Matlab中试试！”

没有找到答案。也就是说，因为你不是在看问题本身！当你有一个病态矩阵时，问题就会出现。那么，在数值上不可能计算逆矩阵

例如：

A=[1    1  -1;
   1   -2   3;
   2   -1   2];

尝试使用
inv（A）
反转此矩阵。你会得到无限。
也就是说，因为矩阵的精度非常高（
cond（A）
）

但是，如果您尝试使用SVD方法（
b=[1；-2；3]
）求解它，您将得到一个结果。这仍然是一个热门的研究课题。求解具有病态数的Ax=b系统

正如@Stewie Griffin所建议的，最好的方法是
mldivide
，就像它背后所做的那样

（是的，我的例子不是很好，因为X的唯一解决方案是INF，但有一个更好的例子）
SVD让您更好地了解解决方案的准确性，并很好地处理奇异和近似奇异的情况。一个很好的替代方法是完全或部分旋转的高斯消去法。谢谢Stewie Griffin。作为我的实验结果，我发现SVD与inv（A）*b方法相比往往给出最佳解。我无法解释原因。你能给我一些关于SVD与inv（A）*b比较的好处的参考吗？让我来做你的向导。洛芒+1.
A=[1    1  -1;
   1   -2   3;
   2   -1   2];