倍频程/Matlab：Frobenius内积的有效计算？

我有两个矩阵A和B，我想得到的是：

trace(A*B)

如果我没弄错的话，这个叫做

---

我关心的是效率。我只是担心这种直截了当的方法将首先进行整个乘法（我的矩阵是数千行/列），然后才进行乘积的跟踪，而我真正需要的操作要简单得多。是否有一个函数或语法可以有效地执行此操作？

正确…对元素相关产品求和会更快：

n = 1000

A = randn(n);
B = randn(n);

tic
sum(sum(A .* B));
toc

tic
sum(diag(A * B'));
toc

运行时间为0.010015秒。
运行时间为0.130514秒。

sum（sum（A.*B））

避免执行完整的矩阵乘法

使用向量乘法怎么样

(A(:)')*B(:)

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运行时检查 将四个选项与尺寸为1000×1000的

A

和

B

进行比较：
1.向量内积：

A（：）'*B（：）

（这个答案）只花了0.0011秒

2.使用元素乘法
sum（sum（A.*B））
（“的答案”）需要
0.0035秒


3.跟踪
跟踪（A*B'）
（由OP提出）耗时
0.054秒


4.对角线之和
Sum（diag（A*B'））
（选项被拒绝）花费
0.055秒

带回家的信息：当涉及到矩阵/向量积时，Matlab非常有效。使用向量内积比高效的元素乘法解快3倍


基准代码
用于提供运行时检查的代码

t=zeros(1,4);
n=1000; % size of matrices
it=100; % average results over XX trails
for ii=1:it, 
    % random inputs
    A=rand(n);
    B=rand(n); 
    % John's rejected solution
    tic; 
    n1=sum(diag(A*B'));
    t(1)=t(1)+toc;
    % element-wise solution
    tic;
    n2=sum(sum(A.*B));
    t(2)=t(2)+toc;
    % MOST efficient solution - using vector product
    tic;
    n3=A(:)'*B(:);
    t(3)=t(3)+toc;
    % using trace
    tic;
    n4=trace(A*B');
    t(4)=t(4)+toc;
    % make sure everything is correct
    assert(abs(n1-n2)<1e-8 && abs(n3-n4)<1e-8 && abs(n1-n4)<1e-8);
end;
t./it

t=0（1,4）；
n=1000；%矩阵的大小
它=100；%超过XX次试验的平均结果
对于ii=1:it，
%随机输入
A=兰特（n）；
B=兰特（n）；
%约翰拒绝的解决方案
抽搐；
n1=总和（对角线（A*B'）；
t（1）=t（1）+toc；
%元素解
抽搐；
n2=总和（总和（A.*B））；
t（2）=t（2）+toc；
%最有效的解决方案-使用向量积
抽搐；
n3=A（：）'*B（：）；
t（3）=t（3）+toc；
%使用跟踪
抽搐；
n4=记录道（A*B'）；
t（4）=t（4）+toc；
%确保一切都是正确的
assert（abs（n1-n2）@izhak-一个更好的解决方案使用向量积。请参阅以及运行时。