Matlab 分布粒子图像中自由区域最大圆的拟合

我正在处理图像，以检测并拟合包含分布粒子的图像任意自由区域中可能的最大圆：

（能够检测粒子的位置）

一个方向是定义一个接触任意三点组合的圆，检查该圆是否为空，然后在所有空圆中找到最大的圆。但是，它会导致大量的组合，即

C（n，3）

，其中

n

是图像中粒子的总数

---

如果有人能为我提供任何提示或其他方法，我将不胜感激

我不习惯图像处理，所以这只是一个想法：

实现类似高斯滤波器（模糊）的功能，将每个粒子（像素）转换为一个圆形渐变，r=图像大小（所有粒子重叠）。这样，你应该得到一张图片，其中最白的像素应该是最好的结果。不幸的是，gimp中的演示失败了，因为极端的模糊使点消失了

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或者，您可以通过标记一个区域中的所有相邻像素（例如：r=4）来增量扩展所有现有像素，剩下的像素将是相同的结果（与任何像素的距离最大的像素）

让我们做一些数学吧，我的朋友，因为数学永远都会结束

维基百科：

在数学中，Voronoi图是将一个平面划分为 基于到平面特定子集中点的距离的面域

例如：

rng(1)
x=rand(1,100)*5;
y=rand(1,100)*5;


voronoi(x,y);

这个图表的好处是，如果你注意到，这些蓝色区域的所有边/顶点都与它们周围的点的距离相等。因此，如果我们知道顶点的位置，并计算到最近点的距离，那么我们可以选择距离最大的顶点作为圆心

有趣的是，Voronoi区域的边也被定义为Delaunay三角剖分生成的三角形的外心

如果我们计算区域的Delaunay三角剖分，以及它们的外心

dt=delaunayTriangulation([x;y].');
cc=circumcenter(dt); %voronoi edges

并计算外圆中心和定义每个三角形的任何点之间的距离：

for ii=1:size(cc,1)
    if cc(ii,1)>0 && cc(ii,1)<5 && cc(ii,2)>0 && cc(ii,2)<5
    point=dt.Points(dt.ConnectivityList(ii,1),:); %the first one, or any other (they are the same distance)
    distance(ii)=sqrt((cc(ii,1)-point(1)).^2+(cc(ii,2)-point(2)).^2);
    end
end

现在让我们来绘图

hold on

ang=0:0.01:2*pi; 
xp=r*cos(ang);
yp=r*sin(ang);

point=cc(ind,:);

voronoi(x,y)
triplot(dt,'color','r','linestyle',':')
plot(point(1)+xp,point(2)+yp,'k');
plot(point(1),point(2),'g.','markersize',20);

请注意，圆心是如何位于Voronoi图的一个顶点上的

---

注意：这将在[0-5]、[0-5]内找到中心。您可以轻松地修改它以更改此约束。您还可以尝试在感兴趣的区域（而不仅仅是中心）内找到适合其整体的圆。这需要在获得最大值的末端进行一个小的添加。

您可以使用图像处理工具箱计算图像的距离变换。这可以看作是创建voronoi图的一种方法，在@AnderBiguri的回答中有很好的解释

img = imread('AbmxL.jpg');
%convert the image to a binary image
points = img(:,:,3)<200;
%compute the distance transform of the binary image
dist = bwdist(points);
%find the circle that has maximum radius
radius = max(dist(:));
%find position of the circle
[x y] = find(dist == radius);
imshow(dist,[]);
hold on
plot(y,x,'ro');

img=imread（'AbmxL.jpg'）；
%将图像转换为二进制图像
points=img（：，：，3）我想提出另一个基于网格搜索的解决方案，并进行优化。它不像Ander的那样先进，也不像rahnema1的那样短，但应该很容易理解和理解。而且，它运行得相当快

该算法包含几个阶段：

我们生成一个均匀分布的网格
我们找到网格中的点到所有提供点的最小距离
我们丢弃距离低于某个百分位（例如第95位）的所有点
我们选择包含最大距离的区域（如果初始网格足够精细，则该区域应包含正确的中心）
我们在所选区域周围创建一个新的网格，然后再次查找距离（这部分显然是次优的，因为距离是计算到所有点的，包括远处和不相关的点）
我们在区域内迭代细化，同时关注前5%值的方差->如果它低于我们打破的某个预设阈值
几点注意：


我假设圆不能超出散乱点的范围（即散乱的边界正方形充当“看不见的墙”）
适当的百分位数取决于初始网格的精细程度。这也会影响
迭代时的
数量，以及
cnt
的最佳初始值


函数[xBest，yBest，R]=q42806059
rng（1）
x=兰特（1100）*5；
y=兰特（1100）*5；
%%查找存在距离所有其他点最远点的近似区域：
xExtent=linspace（min（x）、max（x）、numel（x））；
yExtent=linspace（最小（y）、最大（y）、numel（y））；
%创建网格：
[XX，YY]=meshgrid（xExtent，yExtent）；
%计算从栅格点到自由点的成对距离：
D=重塑（最小值（pdist2（[XX（：），YY（：）]，[x（：），y（：）]，[]，2），尺寸（XX））；
%中间地块：
%图（）；图（x，y，'.k'）；等等轮廓线（XX，YY，D）；轴线广场；网格化；
%删除不相关的候选人：
D（D xExtent | D>yExtent | D>yExtent（end）-yExtent | D>xExtent（end）-xExtent）=NaN；
%%仅保留距离最大的区域
L=bwlabel（~isnan（D））；
[~，I]=max（表2array（regionprops（'table'，L，D，'MaxIntensity'））；
D（L~=I）=NaN；
%surf（XX，YY，D，'EdgeColor'，'interp'，'FaceColor'，'interp'）；
%%迭代直到达到足够的精度：
xExtent=xExtent（~isnan（min（D，[]，1，'omitnan'））；
yExtent=yExtent（~isnan（min（D，[]，2，'omitnan'））；
cnt=1；%根据问题的性质增加或减少
虽然是真的
%与上述想法相同，因此无需解释：
xExtent=linspace（xExtent（1），xExtent（end），20）；
yExtent=linspace（yExtent（1），yExtent（end），20）。”；
[XX，YY]=meshgrid（xExtent，yExtent）；
D=重塑（最小值（pdist2（[XX（：），YY（：）]，[x（：），y（：）]，[]，2），尺寸（XX））；
D（D事实上，这个问题可以通过“直接搜索”（如中所示）来解决，这意味着人们可以将其视为一个问题。有多种方法可以解决此类问题，每种方法都适用于特定场景
img = imread('AbmxL.jpg');
%convert the image to a binary image
points = img(:,:,3)<200;
%compute the distance transform of the binary image
dist = bwdist(points);
%find the circle that has maximum radius
radius = max(dist(:));
%find position of the circle
[x y] = find(dist == radius);
imshow(dist,[]);
hold on
plot(y,x,'ro');

function [xBest,yBest,R] = q42806059
rng(1)
x=rand(1,100)*5;
y=rand(1,100)*5;

%% Find the approximate region(s) where there exists a point farthest from all the rest:
xExtent = linspace(min(x),max(x),numel(x)); 
yExtent = linspace(min(y),max(y),numel(y)).';
% Create a grid:
[XX,YY] = meshgrid(xExtent,yExtent);
% Compute pairwise distance from grid points to free points:
D = reshape(min(pdist2([XX(:),YY(:)],[x(:),y(:)]),[],2),size(XX));
% Intermediate plot:
% figure(); plot(x,y,'.k'); hold on; contour(XX,YY,D); axis square; grid on;
% Remove irrelevant candidates:
D(D<prctile(D(:),95)) = NaN;
D(D > xExtent | D > yExtent | D > yExtent(end)-yExtent | D > xExtent(end)-xExtent) = NaN;
%% Keep only the region with the largest distance
L = bwlabel(~isnan(D));
[~,I] = max(table2array(regionprops('table',L,D,'MaxIntensity')));
D(L~=I) = NaN;
% surf(XX,YY,D,'EdgeColor','interp','FaceColor','interp');
%% Iterate until sufficient precision:
xExtent = xExtent(~isnan(min(D,[],1,'omitnan')));
yExtent = yExtent(~isnan(min(D,[],2,'omitnan')));
cnt = 1; % increase or decrease according to the nature of the problem
while true
  % Same ideas as above, so no explanations:
  xExtent = linspace(xExtent(1),xExtent(end),20); 
  yExtent = linspace(yExtent(1),yExtent(end),20).'; 
  [XX,YY] = meshgrid(xExtent,yExtent);
  D = reshape(min(pdist2([XX(:),YY(:)],[x(:),y(:)]),[],2),size(XX));
  D(D<prctile(D(:),95)) = NaN;
  I = find(D == max(D(:)));
  xBest = XX(I);
  yBest = YY(I);  
  if nanvar(D(:)) < 1E-10 || cnt == 10
    R = D(I);
    break
  end
  xExtent = (1+[-1 +1]*10^-cnt)*xBest;
  yExtent = (1+[-1 +1]*10^-cnt)*yBest;
  cnt = cnt+1;
end
% Finally:
% rectangle('Position',[xBest-R,yBest-R,2*R,2*R],'Curvature',[1 1],'EdgeColor','r');

function [x,y,r] = q42806059b(cloudOfPoints)
% Problem setup
if nargin == 0
  rng(1)
  cloudOfPoints = rand(100,2)*5; % equivalent to Ander's initialization.
end
%{
figure(); plot(cloudOfPoints(:,1),cloudOfPoints(:,2),'.w'); hold on; axis square;
set(gca,'Color','k'); plot(0.7832,2.0694,'ro'); plot(0.7832,2.0694,'r*');
%}
nVariables = 3;
options = optimoptions(@ga,'UseVectorized',true,'CreationFcn',@gacreationuniform,...
                       'PopulationSize',1000);

S = max(cloudOfPoints,[],1); L = min(cloudOfPoints,[],1); % Find geometric bounds:
% In R2017a: use [S,L] = bounds(cloudOfPoints,1);

% Here we also define distance-from-boundary constraints.
g = ga(@(g)vectorized_fitness(g,cloudOfPoints,[L;S]), nVariables,...
       [],[], [],[], [L 0],[S min(S-L)], [], options);
x = g(1); y = g(2); r = g(3);
%{
plot(x,y,'ro'); plot(x,y,'r*'); 
rectangle('Position',[x-r,y-r,2*r,2*r],'Curvature',[1 1],'EdgeColor','r'); 
%}

function f = vectorized_fitness(genes,pts,extent)
% genes = [x,y,r]
% extent = [Xmin Ymin; Xmax Ymax]
% f, the fitness, is the largest radius.
f = min(pdist2(genes(:,1:2), pts, 'euclidean'), [], 2);
% Instant death if circle contains a point:
f( f < genes(:,3) ) = Inf;
% Instant death if circle is too close to boundary:
f( any( genes(:,3) > genes(:,1:2) - extent(1,:) | ...
        genes(:,3) > extent(2,:) - genes(:,1:2), 2) ) = Inf;
% Note: this condition may possibly be specified using the A,b inputs of ga().
f(isfinite(f)) = -genes(isfinite(f),3);
%DEBUG: 
%{
     scatter(genes(:,1),genes(:,2),10 ,[0, .447, .741] ,'o'); % All
 z = ~isfinite(f); scatter(genes(z,1),genes(z,2),30,'r','x'); % Killed
 z =  isfinite(f); scatter(genes(z,1),genes(z,2),30,'g','h'); % Surviving
 [~,I] = sort(f); scatter(genes(I(1:5),1),genes(I(1:5),2),30,'y','p'); % Elite
%}