Matlab:ode45和四阶龙格-库塔方法产生不同的值

我试图在Matlab中对Kuramoto振荡进行建模。我试着用ode45来解决这个系统。我还看到其他人使用龙格库塔方法。我知道ode45使用Runge-kutta方法，但是，我从每个方法中获得的值都有可疑的不同

kuramoto= @(x,K,N,Omega)Omega+(K/N)*sum(sin(x*ones(1,N)-(ones(N,1)*x')))'
%Kuramoto is a model of N coupled ocilators (such as multiple radiowaves)
%The solution to the model is the phase of each ocilator
%[Kuramoto Equation][1]

theta(:,1) = 2*pi*randn(N,1);
t0 = theta(:,1);
[t,y] = ode45(@(t,y)kuramoto(theta(:,1),K,N,omega),tspan,t0);

%Runge-Kutta method
for j=1:iter
k1=kuramoto(theta(:,j),K,N,omega);
k2=kuramoto(theta(:,j)+0.5*h*k1,K,N,omega);
k3=kuramoto(theta(:,j)+0.5*h*k2,K,N,omega);           
k4=kuramoto(theta(:,j)+h*k3,K,N,omega);
theta(:, j+1)=theta(:,j)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end

这两种方法都输出一个矩阵，其中有N行（每行表示不同的振荡器）和M列（其中M表示给定时间的解），我已经以0.1的间隔提供了0到0.5的解。为了比较这些方法，我将从Runge Kutta得到的矩阵减去使用ode45得到的矩阵。理想情况下，两者应具有相同的值，结果应为zeor矩阵，但我得到的值如下：

0   -0.0003   -0.0012   -0.0027   -0.0048   -0.0076
0    0.0003    0.0012    0.0027    0.0048    0.0076
%here I have only two oscillators from t = [0.0,0.5] 

这两个矩阵之间有一个很小的差异（以较大的时间间隔增长）。但不寻常的是，每次（即每列）计算的总值是相同的。这与振荡器的数量无关

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我不确定这是一个数学问题还是一个编程问题（可能两者都有），我想我打错电话给ode45了，但我不确定，几天来都没能找出问题所在。任何帮助都将不胜感激。

您应该使用ode45输出。如果您选择的步长太大，那么实现的Runge Kutta最终将变得不稳定。ode45的全部要点是，它在内部运行Runge-Kutta 4和Runge-Kutta 5方案。如果一个积分步骤的结果不同，则ode45将减少时间步骤，直到结果具有可比性。像您这样使用原始方法显然无法做到这一点

从技术上讲，像ode45这样的方法被称为“嵌入式Runge-Kutta”方法。这里有一种方法： 它们是有效的，因为不同阶的龙格-库塔方法重用了许多相同的函数求值

---

尽管如此，你应该发现如果你减少足够多的时间步长，结果几乎是一样的。它们不同的唯一原因是，当ode45检测到解决方案可能不准确时，它正在内部细化时间步长

您应该使用ode45输出。如果您选择的步长太大，那么实现的Runge Kutta最终将变得不稳定。ode45的全部要点是，它在内部运行Runge-Kutta 4和Runge-Kutta 5方案。如果一个积分步骤的结果不同，则ode45将减少时间步骤，直到结果具有可比性。像您这样使用原始方法显然无法做到这一点

从技术上讲，像ode45这样的方法被称为“嵌入式Runge-Kutta”方法。这里有一种方法： 它们是有效的，因为不同阶的龙格-库塔方法重用了许多相同的函数求值

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尽管如此，你应该发现如果你减少足够多的时间步长，结果几乎是一样的。它们不同的唯一原因是，当ode45检测到解决方案可能不准确时，它正在内部细化时间步长

你真的用这条线了吗

[t,y] = ode45(@(t,y)kuramoto(theta(:,1),K,N,omega),tspan,t0);

在您的运行代码中？那么这里的结果肯定是错误的。使用

[t,y] = ode45(@(t,u)kuramoto(u,K,N,omega),tspan,t0);

以获得至少与RK4积分相关的结果。也就是说，在计算匿名函数的值时使用声明的局部变量/参数。（使用

u

而不是

y

或

theta

不重用在更全局范围内使用的变量名。如果需要自记录变量名，可以使用

thetalocal

）

---

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PS：差和为零是因为导数向量和为零，因此状态向量上的和是常数，而不管在应用方法时犯了什么错误。所以，如果你从它自身减去相同的常数，你会再次得到零。如果状态向量只有2个元素，那么差分向量的元素就必须是相反的。

您实际使用了该行吗

[t,y] = ode45(@(t,y)kuramoto(theta(:,1),K,N,omega),tspan,t0);

在您的运行代码中？那么这里的结果肯定是错误的。使用

[t,y] = ode45(@(t,u)kuramoto(u,K,N,omega),tspan,t0);

以获得至少与RK4积分相关的结果。也就是说，在计算匿名函数的值时使用声明的局部变量/参数。（使用

u

而不是

y

或

theta

不重用在更全局范围内使用的变量名。如果需要自记录变量名，可以使用

thetalocal

）

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PS：差和为零是因为导数向量和为零，因此状态向量上的和是常数，而不管在应用方法时犯了什么错误。所以，如果你从它自身减去相同的常数，你会再次得到零。如果状态向量只有2个元素，因此，差分向量的元素必须是相反的。

也许这是密切相关的：不完全是因为我在两种方法之间得到了显著不同的值。也许这是密切相关的：不完全是因为我在两种方法之间得到了显著不同的值。但是，这能解释为什么差异总是总和吗到0？从这个问题上看，我不清楚你想表达什么观点。您将显示两行输出。这些值是连续出现的吗？同样，如果你怀疑有错误，我要做的第一件事就是用这两种方法画出响应图。他们有实质性的不同吗？对不起，我对你的模型一无所知。你说两个不同的振荡器是什么意思？你的意思是你用不同的模型运行了两次ode45吗？龙格-库塔方法返回了什么值？但是，这能解释为什么差异总是等于0吗？从这个问题上我不清楚你想表达什么观点。您将显示两行输出。是吗