Math 直线与球体的交点_Math_Geometry_Intersection

Math 直线与球体的交点

math geometry

Math 直线与球体的交点,math,geometry,intersection,Math,Geometry,Intersection,我试图找到球体和直线之间的交点，但老实说，我不知道怎么做。有人能帮我吗？找到（x，y，z）中描述直线和球体的两个方程的解可能有0、1或2种解决方案 0表示它们不相交 1表示直线与球体相切 2表示线穿过球体将线路表示为t的函数： { x(t) = x0*(1-t) + t*x1 { y(t) = y0*(1-t) + t*y1 { z(t) = z0*(1-t) + t*z1 当t=0时，它将位于一个端点（x0，y0，z0）。当t=1时，它将位于另一个端点（x1，y1，z1）在t（其中

我试图找到球体和直线之间的交点，但老实说，我不知道怎么做。

有人能帮我吗？

找到（x，y，z）中描述直线和球体的两个方程的解

可能有0、1或2种解决方案

0表示它们不相交
1表示直线与球体相切
2表示线穿过球体

将线路表示为

的函数：

{ x(t) = x0*(1-t) + t*x1
{ y(t) = y0*(1-t) + t*y1
{ z(t) = z0*(1-t) + t*z1

当

t=0

时，它将位于一个端点

（x0，y0，z0）

。当

t=1

时，它将位于另一个端点

（x1，y1，z1）

在

（其中

（xc，yc，zc）

是球体的中心）中写出到球体中心的距离（平方）的公式：

当

f（t）

等于

R^2

时求解

（

是球体的半径）：

求解

t的A+B*t+C*t^2=0
。这是正常的
您最多可以得到两种解决方案。t
介于0和1之间的任何解决方案都是有效的
如果您得到了t
的有效解，请将其插入第一个方程以获得交点
我想你指的是线段（两个端点）。如果您想要一条完整的直线（无限长），则可以沿直线拾取两个点（不要太近），然后使用它们。也让t
为任何实数，而不仅仅是0和1之间的值
编辑：我修正了B
的公式。我把信号弄混了。感谢M Katz提到它不起作用。
您可以使用Wolfram Alpha在球体居中的坐标系中求解它
在该系统中，方程式为：
球体：
     x^2 + y^2 + z^2 = r^2  

直线：
    x = x0 + Cos[x1] t
    y = y0 + Cos[y1] t
    z = z0 + Cos[z1] t 

：（试试看！）
在那之后，你可以再次改变你原来的坐标系（一个简单的翻译）
我相信Markus Jarderot的解决方案是不准确的。我不确定问题出在哪里，但我很确定我把它忠实地翻译成了代码，当我试图找到一条已知穿过球体的线段的交点时，我得到了一个否定的判别式（没有解决方案）
我发现：，它给出了一个相似但略有不同的推导
我将其转换为以下C#代码，它对我很有用：
    public static Point3D[] FindLineSphereIntersections( Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius )
    {
        // http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        if ( D < 0 )
        {
            return new Point3D[ 0 ];
        }

        double t1 = ( -B - Math.Sqrt ( D ) ) / ( 2.0 * A );

        Point3D solution1 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Z );
        if ( D == 0 )
        {
            return new Point3D[] { solution1 };
        }

        double t2 = ( -B + Math.Sqrt( D ) ) / ( 2.0 * A );
        Point3D solution2 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Z );

        // prefer a solution that's on the line segment itself

        if ( Math.Abs( t1 - 0.5 ) < Math.Abs( t2 - 0.5 ) )
        {
            return new Point3D[] { solution1, solution2 };
        }

        return new Point3D[] { solution2, solution1 };
    }

公共静态Point3D[]FindLineSphereIntersections（Point3D linePoint0、Point3D linePoint1、Point3D circleCenter、双圈）
{
// http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec
双cx=circleCenter.X；
双cy=圆心.Y；
双cz=圆心.Z；
双px=linePoint0.X；
双py=线点0.Y；
双pz=线点0.Z；
双vx=linePoint1.X-px；
双vy=线点1.Y-py；
双vz=linePoint1.Z-pz；
双A=vx*vx+vy*vy+vz*vz；
双B=2.0*（px*vx+py*vy+pz*vz-vx*cx-vy*cy-vz*cz）；
双C=px*px-2*px*cx+cx*cx+py*py-2*py*cy+cy*cy+
pz*pz-2*pz*cz+cz*cz-循环*循环；
//判别式
双D=B*B-4*A*C；
if（D<0）
{
返回新的Point3D[0]；
}
双t1=（-B-数学Sqrt（D））/（2.0*A）；
Point3D解决方案1=新的Point3D（linePoint0.X*（1-t1）+t1*linePoint1.X，
linePoint0.Y*（1-t1）+t1*linePoint1.Y，
linePoint0.Z*（1-t1）+t1*linePoint1.Z）；
如果（D==0）
{
返回新的Point3D[]{solution1}；
}
双t2=（-B+数学Sqrt（D））/（2.0*A）；
Point3D解决方案2=新的Point3D（linePoint0.X*（1-t2）+t2*linePoint1.X，
linePoint0.Y*（1-t2）+t2*linePoint1.Y，
linePoint0.Z*（1-t2）+t2*linePoint1.Z）；
//更喜欢线段本身的解决方案
如果（数学绝对值（t1-0.5）<数学绝对值（t2-0.5））
{
返回新的点3D[]{solution1，solution2}；
}
返回新的点3D[]{solution2，solution1}；
}
这里有一个更简洁的公式，使用内部产品，少于100个LOC，并且没有外部链接。此外，该问题是针对一条直线而不是线段提出的
假设球体的中心位于C
，半径r
。该行由P+l*D
描述，其中D*D=1
P
和C
是点，D
是向量，l
是数字
我们设置了PC=p-C
，pd=PC*D
和s=pd*pd-PC*PC+r*r
。如果s<0
没有解决方案，如果s==0
只有一个，否则有两个。对于我们设置的解决方案，l=-pd+-sqrt（s）
，然后插入P+l*D
，或者您可以找到两者的公式：

直线：
（x-x0）/a=（y-y0）/b=（z-z0）/c
，这是点之间线段的对称方程。

球体：（x-xc）^2+（y-yc）^2+（z-zc）^2=R^2

使用对称方程找出x和y以及x和z之间的关系
然后将y和z插入到球面方程中
然后找到x，然后你就可以找到y和z
如果x给你一个假想的结果，这意味着直线和球体不相交。没有足够的声誉来评论M Katz的答案，但他的答案假设直线可以在每个方向无限延伸。如果只需要直线段的交点，则可以
    x = x0 + Cos[x1] t
    y = y0 + Cos[y1] t
    z = z0 + Cos[z1] t 

    public static Point3D[] FindLineSphereIntersections( Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius )
    {
        // http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        if ( D < 0 )
        {
            return new Point3D[ 0 ];
        }

        double t1 = ( -B - Math.Sqrt ( D ) ) / ( 2.0 * A );

        Point3D solution1 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Z );
        if ( D == 0 )
        {
            return new Point3D[] { solution1 };
        }

        double t2 = ( -B + Math.Sqrt( D ) ) / ( 2.0 * A );
        Point3D solution2 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Z );

        // prefer a solution that's on the line segment itself

        if ( Math.Abs( t1 - 0.5 ) < Math.Abs( t2 - 0.5 ) )
        {
            return new Point3D[] { solution1, solution2 };
        }

        return new Point3D[] { solution2, solution1 };
    }

        public static Point3D[] FindLineSphereIntersections(Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius)
    {

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        double t1 = (-B - Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);

        Point3D solution1 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t1) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Z);

        double t2 = (-B + Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);
        Point3D solution2 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t2) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Z);

        if (D < 0 || t1 > 1 || t2 >1)
        {
            return new Point3D[0];
        }
        else if (D == 0)
        {
            return new [] { solution1 };
        }
        else
        {
            return new [] { solution1, solution2 };
        }
    }

if (D < 0)
    return new Point3D[0];
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new Point3D[0];
else if (!(t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution1 };
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && !(t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution2 };
else if (D == 0)
    return new [] { solution1 };
else
    return new [] { solution1, solution2 };