Math 如何计算切线和副法线？

在OpenGL着色语言（GLSL）中讨论凹凸贴图、镜面反射高光以及此类内容

我有：

• 顶点数组（例如，{0.2,0.5,0.1,0.2,0.4,0.5，…}）
• 法线数组（例如，{0.0,0.0,1.0,0.0,1.0,0.0，…}）
• 点光源在世界空间中的位置（例如{0.0,1.0，-5.0}）
• 观察者在世界空间中的位置（例如{0.0,0.0,0.0}）（假设观察者位于世界中心）

现在，如何计算每个顶点的副法线和切线？我的意思是，计算副法线的公式是什么，基于这些信息我必须使用什么？关于切线呢

无论如何，我会构造TBN矩阵，所以如果你知道一个直接基于这些信息构造矩阵的公式，那就太好了

哦，是的，如果需要的话，我也有纹理坐标。 正如我所说的GLSL，最好是逐顶点解决方案，我的意思是，一次不需要访问多个顶点信息

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我找到了这个解决方案：

vec3 tangent; vec3 binormal; vec3 c1 = cross(a_normal, vec3(0.0, 0.0, 1.0)); vec3 c2 = cross(a_normal, vec3(0.0, 1.0, 0.0)); if (length(c1)>length(c2)) { tangent = c1; } else { tangent = c2; } tangent = normalize(tangent); binormal = cross(v_nglNormal, tangent); binormal = normalize(binormal); vec3切线； vec3副法线； vec3 c1=交叉（a_法线，vec3（0.0,0.0,1.0））； vec3 c2=交叉（a_正常，vec3（0.0,1.0,0.0））； 如果（长度（c1）>长度（c2）） { 切线=c1； } 其他的 { 切线=c2； } 切线=规格化（切线）； binormal=交叉（v_nglNormal，切线）； binormal=标准化（binormal）；

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但是我不知道它是否100%正确。

与您的问题相关的输入数据是纹理坐标。切线和副法线是局部平行于对象曲面的向量。在法线贴图的情况下，它们描述了法线纹理的局部方向

因此，您必须计算纹理向量指向的方向（在模型空间中）。假设你有一个三角形ABC，纹理坐标为HKL。这给了我们向量：

D = B-A
E = C-A

F = K-H
G = L-H

现在我们想用切线空间T，U来表示D和E，即

D = F.s * T + F.t * U
E = G.s * T + G.t * U

这是一个由6个未知数和6个方程组成的线性方程组，可以写成

| D.x D.y D.z |   | F.s F.t | | T.x T.y T.z |
|             | = |         | |             |
| E.x E.y E.z |   | G.s G.t | | U.x U.y U.z |

反转FG矩阵将产生

| T.x T.y T.z |           1         |  G.t  -F.t | | D.x D.y D.z |
|             | = ----------------- |            | |             |
| U.x U.y U.z |   F.s G.t - F.t G.s | -G.s   F.s | | E.x E.y E.z |

与顶点法线T和U一起形成一个局部空间基，称为切线空间，由矩阵描述

| T.x U.x N.x |
| T.y U.y N.y |
| T.z U.z N.z |

从切线空间转换到对象空间。要进行照明计算，需要与此相反。通过一点练习，你会发现：

T' = T - (N·T) N
U' = U - (N·U) N - (T'·U) T'

规范化向量T'和U'，称之为切线和副法线，我们得到从对象到切线空间的矩阵变换，在这里我们进行照明：

| T'.x T'.y T'.z |
| U'.x U'.y U'.z |
| N.x  N.y  N.z  |

我们将T'和U'与顶点法线一起存储为模型几何体的一部分（作为顶点属性），以便我们可以在着色器中使用它们进行照明计算我重复：您不确定着色器中的切线和副法线，而是预计算它们并将它们存储为模型几何体的一部分（就像法线一样）。

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（上面垂直条之间的符号都是矩阵，而不是行列式，它们通常在符号中使用垂直条而不是括号。）

通常，生成TBN矩阵有两种方法：离线和在线

• 在线=使用派生指令在片段着色器的右侧。这些派生为多边形的每个点提供了一个平坦的TBN基础。为了得到一个光滑的顶点，我们必须基于一个给定的（光滑的）顶点法线重新正交化它。这个过程比初始TBN提取对GPU的影响更大

  // compute derivations of the world position
  vec3 p_dx = dFdx(pw_i);
  vec3 p_dy = dFdy(pw_i);
  // compute derivations of the texture coordinate
  vec2 tc_dx = dFdx(tc_i);
  vec2 tc_dy = dFdy(tc_i);
  // compute initial tangent and bi-tangent
  vec3 t = normalize( tc_dy.y * p_dx - tc_dx.y * p_dy );
  vec3 b = normalize( tc_dy.x * p_dx - tc_dx.x * p_dy ); // sign inversion
  // get new tangent from a given mesh normal
  vec3 n = normalize(n_obj_i);
  vec3 x = cross(n, t);
  t = cross(x, n);
  t = normalize(t);
  // get updated bi-tangent
  x = cross(b, n);
  b = cross(n, x);
  b = normalize(b);
  mat3 tbn = mat3(t, b, n);
  

• 离线=准备切线作为顶点属性。这更难获得，因为它不仅会添加另一个顶点属性，还需要重新组合所有其他属性。此外，它不会100%为您提供更好的性能，因为您将获得存储/传递/设置（！）vector3顶点属性动画的额外成本

在很多地方（谷歌it）都有对数学的描述，包括@datenwolf帖子

这里的问题是，两个顶点可能具有相同的法线和纹理坐标，但切线不同。这意味着您不能只向顶点添加顶点属性，还需要将顶点拆分为2个，并为克隆指定不同的切线

获取每个顶点的唯一切线（和其他属性）的最佳方法是尽早在导出器中进行。在按属性对纯顶点排序的阶段，您只需要将切线向量添加到排序键

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作为问题的根本解，考虑使用<强>四元数< /强>。一个四元数（vec4）可以成功地表示预定义便利度的切向空间。很容易保持正交（包括传递到片段着色器）、存储和提取法线（如果需要）。更多信息。

基于kvark的回答，我想补充更多想法

如果你需要一个正交规范化的切线空间矩阵，你必须以任何方式做一些工作。 即使添加切线和双法线属性，它们也将在着色器阶段进行插值 最后，它们既不是标准化的，也不是彼此正常的

假设我们有一个标准化法向量

n

，我们有切线

t

和副法线

b

，或者我们可以通过以下推导计算它们：

// derivations of the fragment position
vec3 pos_dx = dFdx( fragPos );
vec3 pos_dy = dFdy( fragPos );
// derivations of the texture coordinate
vec2 texC_dx = dFdx( texCoord );
vec2 texC_dy = dFdy( texCoord );
// tangent vector and binormal vector
vec3 t = texC_dy.y * pos_dx - texC_dx.y * pos_dy;
vec3 b = texC_dx.x * pos_dy - texC_dy.x * pos_dx;

当然，正交正切空间矩阵可以用叉积来计算， 但这只适用于右手系统。如果矩阵被镜像（左侧系统），它将变为右侧系统：

t = cross( cross( n, t ), t ); // orthonormalization of the tangent vector
b = cross( n, t );             // orthonormalization of the binormal vector 
                               //   may invert the binormal vector
mat3 tbn = mat3( normalize(t), normalize(b), n );

在上面的代码片段中，如果切线空间是左手系统，则会反转副法线向量。 要避免这种情况，必须走艰难的道路：

t = cross( cross( n, t ), t ); // orthonormalization of the tangent vector
b = cross( b, cross( b, n ) ); // orthonormalization of the binormal vectors to the normal vector 
b = cross( cross( t, b ), t ); // orthonormalization of the binormal vectors to the tangent vector
mat3 tbn = mat3( normalize(t), normalize(b), n );

正交化任何矩阵的常用方法是：

另一种可能性是使用2*2矩阵的行列式，该行列式由纹理坐标

texC_dx

的导数产生<

t = t - n * dot( t, n ); // orthonormalization ot the tangent vectors
b = b - n * dot( b, n ); // orthonormalization of the binormal vectors to the normal vector 
b = b - t * dot( b, t ); // orthonormalization of the binormal vectors to the tangent vector
mat3 tbn = mat3( normalize(t), normalize(b), n );

float texDet = texC_dx.x * texC_dy.y - texC_dy.x * texC_dx.y;
vec3 t = texC_dy.y * pos_dx - texC_dx.y * pos_dy;
t      = normalize( t - n * dot( t, n ) );
vec3 b = cross( n, t );                      // b is normlized because n and t are orthonormalized unit vectors
mat3 tbn = mat3( t, sign( texDet ) * b, n ); // take in account the direction of the binormal vector