MATLAB：测试匿名向量是否是R^n的子集

作为一名程序员，我试图使用MatLab代码作为学习数学的一种方式

所以我在读这篇关于子空间的文章，并试图构建一些简单的matlab函数来为我做到这一点

以下是我取得的成绩：

function performSubspaceTest(subset, numArgs)
% Just a quick and dirty function to perform subspace test on a vector(subset)
%
% INPUT
% subset        is the anonymous function that defines the vector
% numArgs       is the the number of argument that subset takes

% Author:   Lasse Nørfeldt (Norfeldt)
% Date:     2012-05-30
% License:  http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

if numArgs == 1
    subspaceTest = @(subset) single(rref(subset(rand)+subset(rand))) ...
        == single(rref(rand*subset(rand)));

elseif numArgs == 2
    subspaceTest = @(subset) single(rref(subset(rand,rand)+subset(rand,rand))) ...
        == single(rref(rand*subset(rand,rand)));
end
% rand just gives a random number. Converting to single avoids round off
% errors.
% Know that the code can crash if numArgs isn't given or bigger than 2.

outcome = subspaceTest(subset);
if outcome == true
    display(['subset IS a subspace of R^' num2str(size(outcome,2))])
else
    display(['subset is NOT a subspace of R^' num2str(size(outcome,2))])
end

这些是我正在测试的子集

%% Checking for subspaces
V = @(x) [x, 3*x]
performSubspaceTest(V, 1)

A = @(x) [x, 3*x+1]
performSubspaceTest(A, 1)

B = @(x) [x, x^2, x^3]
performSubspaceTest(B, 1)

C = @(x1, x3) [x1, 0, x3, -5*x1]
performSubspaceTest(C, 2)

运行代码给了我这个

V = 
@(x)[x,3*x]
subset IS a subspace of R^2

A = 
@(x)[x,3*x+1]
subset is NOT a subspace of R^2

B = 
@(x)[x,x^2,x^3]
subset is NOT a subspace of R^3

C = 
@(x1,x3)[x1,0,x3,-5*x1]
subset is NOT a subspace of R^4

C不工作（仅当它只接受一个参数时才工作）。 我知道我的numArgs解决方案不是最优的——但这是我目前能够想到的

是否有任何方法可以优化此代码，使C能够正常工作，并可能避免超过2个参数的elseif语句

---

PS：我似乎找不到一个内置的matlab函数来为我解决这个问题。

这里有一种方法。它测试给定函数是否表示线性子空间。从技术上讲，这只是一个概率测试，但失败的可能性微乎其微

首先，我们定义一个很好的抽象。此高阶函数将函数作为其第一个参数，并将该函数应用于矩阵

x

的每一行。这允许我们同时测试

func

的多个参数

function y = apply(func,x)
  for k = 1:size(x,1)
    y(k,:) = func(x(k,:));
  end

现在我们编写核心函数。这里的

func

是一个参数的函数（假定为

R^m

中的向量），它在

R^n

中返回向量。我们将

func

应用于

R^m

中的100个随机选择向量，以获得输出矩阵。如果

func

表示一个线性子空间，则输出的值将小于或等于

m

function result = isSubspace(func,m)
  inputs  = rand(100,m);
  outputs = apply(func,inputs);
  result  = rank(outputs) <= m;

---

非最优的解决方案几乎触及了问题的表面

我认为你一下子做的太多了：

rref

不应该被使用，这会让一切变得复杂。尤其是

numArgs

大于1

仔细想想：

[1 0 3-5]

和

[3 0 3-5]

都是C的成员，但它们的和

[4 0 6-10]

（属于C）不是前面一个向量（例如

[2 0 6-10]

的乘积。因此，世界上所有的

rref

都无法解决您的问题

那么你能做些什么呢

你需要检查一下

(randn*subset(randn,randn)+randn*subset(randn,randn))) 

是C的一个成员，除非我弄错了，否则这是一个困难的问题：从概念上讲，您需要遍历向量的每个元素，并确保它符合预定条件。或者，您可以尝试找到一个集合，使C（x1，x2）给出正确的答案。在这种情况下，您可以使用以数字方式解决此问题，并验证返回值是否在定义的公差范围内：

[s,error] = fminsearch(@(x) norm(C(x(1),x(2)) - [2 0 6 -10]),[1 1])
s =
   1.999996976386119   6.000035034493023
error =
     3.827680714104862e-05

---

编辑：您需要确保在乘法中可以使用负数，所以不要使用rand，而是使用其他值。我把它改为randn。

我发现了一个问题，因为在测试中，您只需使用rand值检查一次。rands的本质是，它们可能会被不幸地选择用于你的测试。对于失败的测试C，你只需检查它是否是一维子空间。它失败了，因为子空间是二维的。@bdecaf那么如何测试它的二维性呢？显然你需要两行。它看起来像

subspaceTest=@（子集）single（rref（[子集（rand，rand）+子集（rand，rand）；子集（rand，rand）+子集（rand，rand）]）…==单（rref（[rand*子集（rand，rand）；rand*子集（rand，rand）]）

在您的符号中（只在每个子空间中添加了第二行）。很有趣。这似乎在大多数情况下都有效，但您并没有回答OP最初的问题：具体来说，您试图查看输出的秩是否等于输入的数目，这与验证子集是否闭合无关。您是否有一个案例不起作用？我希望它会在“几乎是一个子空间”的示例中给出误报（例如，它们将epsilon添加到其中一个组件），但这是使用浮点近似实数的一个限制。我认为我的答案是好的，因为（a）它很简单（b）它很一般，（c）它把数学巧妙地结合到代码中。啊哈@（x） [x^2,3*x^2]应该失败，因为-1*c（1）=[-1，-3]，它在R中没有对应的点（您需要c（i））。但排名仍然是1。虽然努力很好，但理论还是赢得了胜利，非常感谢你的回答。我确信我理解如何正确阅读它。fminsearch是否自行填充x（1）和x（2），直到找到x1和x2值，该值给出一个向量，而该向量通过与另一个向量C相减得到一个单位向量。。？我可能有点困惑..fminsearch会找到最接近的点集，从而最小化错误。在这种情况下，它试图找到一个点，使C（x）尽可能接近

[2 0 6-10]

。在这种情况下，误差很小，但在另一种情况下，误差可能很大，这意味着您的输入函数不是子空间。是否可以对其进行广义化，以便输入函数（在这种情况下为C）获得它接受的参数数。类似于[s，error]=fminsearch（@（func，varargs）norm（func（varargs）-[2 0 6-10]），[1]），它类似于在不声明每个arg的情况下创建C的子集。因此，如果一个函数应该存在，那么它可能是C（varargs（'random'），而不是C（rand，rand）…-希望它有意义..？？？只要看看@我的评论就可以看出@（func，varargs）没有意义。。只需将其视为@（varargs），并且func（varargs）仍在范数内。@Norfeldt注意，我的答案并不是您所寻找的代码解决方案，而是建议您可以做什么。您需要多次运行类似的操作，并希望涵盖许多可能的解决方案，然后才能自信地找到正确的答案。Chris建议对100个不同的向量进行秩计算，虽然他的数字可能很大，但这是你在进行数字运算时付出的成本

[s,error] = fminsearch(@(x) norm(C(x(1),x(2)) - [2 0 6 -10]),[1 1])
s =
   1.999996976386119   6.000035034493023
error =
     3.827680714104862e-05