Matlab 耦合常微分方程的Runge-kutta
我正在建立一个倍频程函数,它可以解Matlab 耦合常微分方程的Runge-kutta,matlab,octave,numerical-methods,Matlab,Octave,Numerical Methods,我正在建立一个倍频程函数,它可以解N耦合的常微分方程: dx/dt = F(x,y,…,z,t) dy/dt = G(x,y,…,z,t) dz/dt = H(x,y,…,z,t) 使用这三种方法中的任何一种(Euler、Heun和Runge-Kutta-4) 以下代码对应于该功能: function sol = coupled_ode(E, dfuns, steps, a, b, ini, method) range = b-a; h=range/steps; rows =
N
耦合的常微分方程:
dx/dt = F(x,y,…,z,t)
dy/dt = G(x,y,…,z,t)
dz/dt = H(x,y,…,z,t)
使用这三种方法中的任何一种(Euler、Heun和Runge-Kutta-4)
以下代码对应于该功能:
function sol = coupled_ode(E, dfuns, steps, a, b, ini, method)
range = b-a;
h=range/steps;
rows = (range/h)+1;
columns = size(dfuns)(2)+1;
sol= zeros(abs(rows),columns);
heun=zeros(1,columns-1);
for i=1:abs(rows)
if i==1
sol(i,1)=a;
else
sol(i,1)=sol(i-1,1)+h;
end
for j=2:columns
if i==1
sol(i,j)=ini(j-1);
else
if strcmp("euler",method)
sol(i,j)=sol(i-1,j)+h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,1:end));
elseif strcmp("heun",method)
heun(j-1)=sol(i-1,j)+h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,1:end));
elseif strcmp("rk4",method)
k1=h*dfuns{j-1}(E, [sol(i-1,1), sol(i-1,2:end)]);
k2=h*dfuns{j-1}(E, [sol(i-1,1)+(0.5*h), sol(i-1,2:end)+(0.5*h*k1)]);
k3=h*dfuns{j-1}(E, [sol(i-1,1)+(0.5*h), sol(i-1,2:end)+(0.5*h*k2)]);
k4=h*dfuns{j-1}(E, [sol(i-1,1)+h, sol(i-1,2:end)+(h*k3)]);
sol(i,j)=sol(i-1,j)+((1/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
end
end
end
if strcmp("heun",method)
if i~=1
for k=2:columns
sol(i,k)=sol(i-1,k)+(h/2)*((dfuns{k-1}(E, sol(i-1,1:end)))+(dfuns{k-1}(E, [sol(i,1),heun])));
end
end
end
end
end
当我对一个常微分方程使用函数时,RK4方法是最好的,但当我运行一对微分方程系统的代码时,RK4是最差的,我一直在检查,我不知道我做错了什么
下面的代码是如何调用该函数的示例
F{1} = @(e, y) 0.6*y(3);
F{2} = @(e, y) -0.6*y(3)+0.001407*y(4)*y(3);
F{3} = @(e, y) -0.001407*y(4)*y(3);
steps = 24;
sol1 = coupled_ode(0,F,steps,0,24,[0 5 995],"euler");
sol2 = coupled_ode(0,F,steps,0,24,[0 5 995],"heun");
sol3 = coupled_ode(0,F,steps,0,24,[0 5 995],"rk4");
plot(sol1(:,1),sol1(:,4),sol2(:,1),sol2(:,4),sol3(:,1),sol3(:,4));
legend("Euler", "Heun", "RK4");
小心:RK4表格中有太多的
h
:
k2 = h*dfuns{ [...] +(0.5*h*k1)]);
k3 = h*dfuns{ [...] +(0.5*h*k2]);
应该是
k2 = h*dfuns{ [...] +(0.5*k1)]);
k3 = h*dfuns{ [...] +(0.5*k2]);
(最后一个h
已删除)
但是,这与您提供的示例没有区别,因为h=1
但除了那个小虫子,我不认为你真的做错了什么
如果我绘制由更高级的自适应4生成的解决方案ᵗʰ/5ᵗʰ在ode45
中执行的命令RK:
F{1} = @(e,y) +0.6*y(3);
F{2} = @(e,y) -0.6*y(3) + 0.001407*y(4)*y(3);
F{3} = @(e,y) -0.001407*y(4)*y(3);
tend = 24;
steps = 24;
y0 = [0 5 995];
plotN = 2;
sol1 = coupled_ode(0,F, steps, 0,tend, y0, 'euler');
sol2 = coupled_ode(0,F, steps, 0,tend, y0, 'heun');
sol3 = coupled_ode(0,F, steps, 0,tend, y0, 'rk4');
figure(1), clf, hold on
plot(sol1(:,1), sol1(:,plotN+1),...
sol2(:,1), sol2(:,plotN+1),...
sol3(:,1), sol3(:,plotN+1));
% New solution, generated by ODE45
opts = odeset('AbsTol', 1e-12, 'RelTol', 1e-12);
fcn = @(t,y) [F{1}(0,[0; y])
F{2}(0,[0; y])
F{3}(0,[0; y])];
[t,solN] = ode45(fcn, [0 tend], y0, opts);
plot(t, solN(:,plotN))
legend('Euler', 'Heun', 'RK4', 'ODE45');
xlabel('t');
那么我们就有了更可信的东西来比较
现在,简单明了的RK4在这种孤立的情况下确实表现得非常糟糕:
但是,如果我简单地翻转最后两个函数中最后一个项的符号:
% ±
F{2} = @(e,y) +0.6*y(3) - 0.001407*y(4)*y(3);
F{3} = @(e,y) +0.001407*y(4)*y(3);
然后我们得到:
RK4在您的案例中表现不佳的主要原因是步长。自适应RK4/5(公差设置为1,而不是上述1e-12)产生平均δt=0.15。这意味着基本错误分析表明,对于这一特定问题,h=0.15
是在不引入不可接受错误的情况下可以采取的最大步骤
但是您使用的是h=1
,这确实会产生一个很大的累积误差
事实上,Heun和Euler在您的案例中表现如此出色,这完全是运气,正如上面的符号反转示例所示
欢迎来到数值数学世界——在任何情况下,都没有一种方法最适合所有问题:)除了旧答案中描述的错误之外,在实现中确实存在一个基本的方法错误。首先,对于标量一阶微分方程,实现是正确的。但当你尝试在耦合系统上使用它时,龙格-库塔方法中对阶段的去耦合处理(注意,Heun只是Euler步骤的一个副本)将它们简化为一阶方法 具体来说,从
k2=h*dfuns{j-1}(E, [sol(i-1,1)+(0.5*h), sol(i-1,2:end)+(0.5*h*k1)]);
将0.5*k1
添加到sol(i-1,2:end)
意味着添加第一阶段的斜率向量,而不是将相同的斜率值添加到位置向量的所有分量
考虑到这一点,将导致实施的变化
function sol = coupled_ode(E, dfuns, steps, a, b, ini, method)
range = b-a;
h=range/steps;
rows = steps+1;
columns = size(dfuns)(2)+1;
sol= zeros(rows,columns);
k = ones(4,columns);
sol(1,1)=a;
sol(1,2:end)=ini(1:end);
for i=2:abs(rows)
sol(i,1)=sol(i-1,1)+h;
if strcmp("euler",method)
for j=2:columns
sol(i,j)=sol(i-1,j)+h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,1:end));
end
elseif strcmp("heun",method)
for j=2:columns
k(1,j) = h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,1:end));
end
for j=2:columns
sol(i,j)=sol(i-1,j)+h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,1:end)+k(1,1:end));
end
elseif strcmp("rk4",method)
for j=2:columns
k(1,j)=h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,:));
end
for j=2:columns
k(2,j)=h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,:)+0.5*k(1,:));
end
for j=2:columns
k(3,j)=h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,:)+0.5*k(2,:));
end
for j=2:columns
k(4,j)=h*dfuns{j-1}(E, sol(i-1,:)+k(3,:));
end
sol(i,2:end)=sol(i-1,2:end)+(1/6)*(k(1,2:end)+(2*k(2,2:end))+(2*k(3,2:end))+k(4,2:end));
end
end
end
可以看出,向量组件上的循环频繁出现。可以通过使用耦合ODE系统右侧的向量值函数进行完全向量化来隐藏这一点
具有这些变化的解决方案的第二个组成部分的图给出了步长1更合理的图
细分为120个间隔,步长为0.2
其中,RK4的图形变化不大,而其他两个从下方和上方向其移动