Matrix 检查给定秩的矩阵是半正定的（Julia）

我正在编写一个函数，用于检查矩阵

X

是否是具有给定秩

k

的半正定矩阵。为此，我计算了

X

的特征值，并检查其中

k

的特征值是否为正，其余的特征值是否为0。以下是我目前掌握的情况：

using LinearAlgebra    

function ispossemdef(X::AbstractMatrix, k::Int, ϵ::Real = 1e-10)

    n = size(X, 1)                   #  dim of X

    !issymmetric(X) && return false  #  short-circuit if X is asymmetric
    k > n && error("k > n")          #  throw error if k > n

    eigs = eigvals(X)                #  eigenvalues of X in ascending order

    z = eigs[1:(n - k)]              #  the values that should be zero
    p = eigs[(n - k + 1):end]        #  the values that should be positive

    n_minus_k_zero_eigenvalues = norm(z) < ϵ
    k_positive_eigenvalues     = all(p .> ϵ)

    return n_minus_k_zero_eigenvalues & k_positive_eigenvalues

end

使用线性代数
函数ispossemdef（X:：AbstractMatrix，k:：Int，ϵ:：Real=1e-10）
n=尺寸（X，1）#X的尺寸
!issymmetric（X）&返回false#如果X不对称，则短路
k>n&&error（“k>n”）#如果k>n则抛出错误
eigs=eigvals（X）#X的特征值升序
z=eigs[1：（n-k）]#应为零的值
p=EIG[（n-k+1）：结束]#应为正值的值
n_减去k_零特征值=范数（z）<ϵ
k_正特征值=all（p.>ϵ）
返回n_负k_零特征值和k_正特征值
结束

有没有更好的算法？更好可能意味着更快（避免计算特征值），或者在数值上更稳定（让我可以更严格地容忍错误）

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例如，

isposdef

函数（这是我正在做的事情的

k=n

特例）通过尝试计算

X

的Cholesky因子，并报告是否可以。我能把这个过程推广到半定矩阵吗？如果是这样，它比检查特征值好吗？

它不会对所有矩阵都起作用，但是你看过了吗

using LinearAlgebra   # for julia 1+

help> isposdef

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在isposdef（）函数中？

当然可以。我试图将它推广到具有指定秩的半定矩阵。isposdef的工作原理是尝试计算矩阵的Cholesky因子，并报告其是否成功。不确定这个过程如何推广到半定矩阵。如果是这样，而且比我现在做的更好，那就是我想知道的事情。编辑问题以提及这一点。如果矩阵是

对称的

或

Hermitian的

，您已经在代码中确保了这一点，那么您不能使用

eigvals

，其值边界为

0

和

Inf

。如果存在负特征值，可以使用结果的

length

进行检查。如果矩阵根本不是PSD，那么这可能会运行得更快，因为不会计算负特征值。如果需要将矩阵复制到

对称

或

Hermitian

矩阵中，则可能需要使用，因为原始矩阵不会受到影响。这可能是Math StackExchange的一个问题。