Matrix Isabelle矩阵算法：使用不同的符号在库中确定线性行集合

我最近开始使用伊莎贝尔定理证明器。当我想证明另一个引理时，我想使用一个不同于引理“det_linear_row_setsum”中使用的符号，它可以在HOL库中找到。更具体地说，我想使用“χI j表示法”而不是“χI”。一段时间以来，我一直在试图建立一个等价的表达式，但还没有弄明白

(* ORIGINAL lemma from library *)
(* from HOL/Multivariate_Analysis/Determinants.thy *)
lemma det_linear_row_setsum:
  assumes fS: "finite S"
  shows "det ((χ i. if i = k then setsum (a i) S else c i)::'a::comm_ring_1^'n^'n) = setsum (λj. det ((χ i. if i = k then a  i j else c i)::'a^'n^'n)) S"
proof(induct rule: finite_induct[OF fS])
  case 1 thus ?case apply simp  unfolding setsum_empty det_row_0[of k] ..
next
  case (2 x F)
  then  show ?case by (simp add: det_row_add cong del: if_weak_cong)
qed

---

首先，弄清楚原始引理是怎么说的：

a

是由

i

和

j

索引的向量族，

c

是由

i

索引的向量族。左侧矩阵的

k

-第行是集合

S

中所有

j

范围内的向量

akj

的总和。 其他行取自

c

。在右边，矩阵是相同的，除了行

k

现在是

akj

，并且

j

在外和中绑定

如您所知，向量族

a

仅用于索引

i=k

，因此您可以用

%\uj替换
a
。vec1$j

。矩阵

A

产生行族，即

c

变成

%r。A$r

。然后，您只需利用

（χn.x$n）=x

（定理

向量逆

）并通过

if

和

集合推动
$
。结果如下：

lemma mydet_linear_row_setsum:
  assumes fS: "finite S"
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and k :: "'n" and vec1 :: "'vec1 => 'a^'n"
  shows "det (χ r c . if r = k then setsum (%j. vec1 j $ c) S else A $ r $ c) =
    (setsum (%j. (det(χ r c . if r = k then vec1 j $ c else A $ r $ c))) S)"

为了证明这一点，您只需撤销扩展和推送，引理
if_distrib
，
cond_application_beta
，以及
setsum_component
可能会帮助您这样做

lemma mydet_linear_row_setsum:
  assumes fS: "finite S"
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and k :: "'n" and vec1 :: "'vec1 => 'a^'n"
  shows "det (χ r c . if r = k then setsum (%j. vec1 j $ c) S else A $ r $ c) =
    (setsum (%j. (det(χ r c . if r = k then vec1 j $ c else A $ r $ c))) S)"