Matrix 将权重应用于矩阵和顶点（骨骼旋转）

我正在旋转一个低多边形3D图形的网格内骨架的骨骼。在顶点着色器上，其应用如下。
glsl：

    vec4 vert1 = (bone_matrix[index1]*vertex_in)*weight;
    vec4 vert2 = (bone_matrix[index2]*vertex_in)*(1-weight);
    gl_Position =  vert1+vert2;

bone\u-matrix[index1]

是一块骨骼的矩阵，

bone\u-matrix[index2]

是另一块骨骼的矩阵<代码>权重在的成员身份中为这些骨骼指定顶点。问题是重量越接近0.5，应用旋转时弯头的直径收缩越大。我用大约10000个顶点的圆柱体形状（权重梯度）对其进行了测试。结果就像弯曲了花园里的软管

我从这些来源得到了我的加权方法。这实际上是我能找到的唯一方法：

左边是形状如何开始，中间是上面等式如何旋转它，右边是我的目标。中点加权

0.5

。弯曲度越大，情况就越糟，180度时，直径为零

• 我尝试在着色器上组装矩阵，以便可以将权重应用于旋转，而不是结果顶点。它看起来很像右图中的那个，但它需要为每个顶点组装矩阵（昂贵）
• 我研究过四元数，但glsl并不支持它们（如果我错了，请纠正我），而且它们令人困惑。这就是我需要做的吗
• 我考虑过每个关节有三块骨头，在每根骨头之间加一块“膝盖骨”。这不会消除问题，但会缓解问题
• 我正在考虑在旋转顶点后，将其投影到与轴的原始距离。这将在180度时失效，但（相对）便宜

因此，考虑到我可能没有考虑过的选项或其他选项，其他人如何避免这种挤压效应？

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编辑：我让SLERP使用四元数，但我选择不使用它，因为GLSL本身不支持它。我无法让几何SLERP像汤姆描述的那样工作。我让NLERP为前90度工作，所以我在每个关节之间添加了一个额外的“骨骼”。因此，要将前臂弯曲40度，我将肘部和前臂分别弯曲20度。这以骨骼数量翻倍为代价消除了挤压效应，这不是一个理想的解决方案。

免责声明：我不是一个很喜欢3D的人，所以我建议你一种数学方法，可能会对你有所帮助

首先，让我把这个小模式放在这里，这样我们就可以确定我们谈论的是同一件事：

蓝色和绿色图形是原始骨骼，使用

骨骼矩阵[index1]

或

骨骼矩阵[index2]

完全旋转。红点是旋转的中心，橙色是你想要的，黑色是你拥有的

所以，你认为被构建为蓝色和绿色的加权平均值，在这张图上我们看到了（感谢灰线），为什么它会这样收缩

你需要以某种方式补偿这种收缩，我建议从你的旋转中心缩放点，我们需要在骨骼之间的连接处缩放值2，在末端缩放值1

让

scale_矩阵

成为预先计算的矩阵：以旋转中心（红点）为中心的振幅2的缩放

最终将使用此着色器：

vec4 vert1 = (bone_matrix[index1]*vertex_in)*weight;
vec4 vert2 = (bone_matrix[index2]*vertex_in)*(1-weight);
vec4 inter =  vert1+vert2;
vec4 scaled1 = inter*(1-2*min(weight, 1-weight));
vec4 scaled2 = (scale_matrix*inter)*(2*min(weight, 1-weight));
gl_Position =  scaled1+scaled2;

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恐怕我现在无法测试它（我对GLSL了解不多），但我认为如果某些东西不适合，您可以根据您的情况调整它。

根据您的实际应用，您可能会喜欢此变体：您可以在部件之间添加额外的带，如：

重量以绿色/绿色显示。但是，这需要一些骨骼技巧，因此当你向右弯曲时，你可以使用右侧骨骼并将旋转中心设置为右侧，当向左弯曲时，可以使用左侧骨骼并将旋转中心设置为左侧。

问题出在哪里 你所看到的原因由中的图说明。然而，为了理解正在发生的事情，考虑执行代码时发生的事情：

如果第一个点

vert1

具有坐标

（p，0）

，

vert2

的坐标将是

（p cos（α），p sin（α））

，其中

α是两个骨骼之间的角度（在适当的坐标变换下，这总是可能的）。使用适当的权重
w
和
1-w
将它们相加，我们得到以下坐标：

x = w p + (1-w) p cos(α)
y = (1-w) p sin(α)

该向量的长度为：

length^2 = x^2 + y^2
         = (w p + (1-w) p cos(α))^2 + (1-w)^2 p^2 sin(α)^2
         = p^2 [w^2 + 2 w (1-w) cos(α) + (1-w)^2 cos(α)^2 + (1-w)^2 sin(α)^2]
         = p^2 [w^2 + (1-w)^2 + 2 w (1-w) cos(α)]

例如，当
w=1/2
时，这将简化为：

length^2 = p^2 (1/2 + 1/2 cos(α)) = p^2 cos(α/2)^2

和
length=p | cos（α/2）|
，而原始向量的长度是
p
（参见）。新向量的长度变小，这是您感知到的收缩效果。原因是我们实际上是沿着一条直线插值两个顶点。如果我们想要保持相同的长度
p
，我们实际上需要沿着旋转中心的圆进行插值。一种可能的方法是重新规范化生成的向量，保持关节处的宽度

这意味着我们需要将得到的顶点坐标除以
|cos（α/2）|
（或任意权重的更一般结果）。当然，这有一个副作用，即每当角度正好为180°时，除以零（出于同样的原因，使用您的技术，关节处的宽度为零）

我不是骨骼动画专家，但在我看来，正如您所描述的，原始解决方案是处理小骨骼角度（收缩效果最小）的近似方法

替代办法
另一种方法是插值旋转而不是顶点。例如，请参见和

SLERP

slerp技术与我描述的技术类似
gl_Position = [sin((1-w)α)*vert1 + sin(wα)*vert2]/sin(α)

x = p [sin((1-w)α) + sin(wα) cos(α)]/sin(α)
y = p sin(wα) sin(α)/sin(α) = p sin(wα)

cos(θ) = vert1*result/(|vert1| |result|) = vert1*result/p^2
       = p^2 [sin(wα) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)/p^2
       = [sin(α) cos((1-w)α) - cos(α) sin((1-w)α) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)
       = cos((1-w)α)

cos(φ) = vert2*result/p^2
       = [sin(wα) cos(α) + sin((1-w)α) cos(α)^2 + sin((1-w)α) sin(α)^2]/sin(α)
       = [sin(wα) cos(α) + sin((1-w)α) cos(α)]/sin(α)
       = [sin(wα) cos(α) + sin(α) cos(wα) - cos(α) sin(wα)]/sin(α)
       = cos(wα)

cos(α) = (tr(M) - 1)/2 = (tr(transpose(A)*B) - 1)/2
       = (A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0] + A[0][2]*B[2][0] + 
          A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1] + A[1][2]*B[2][1] + 
          A[2][0]*B[0][2] + A[2][1]*B[1][2] + A[2][2]*B[2][2] - 1)/2