Python 寻找二项式有效模素数，采访街头挑战

我在这方面做了很多工作，但是找不到更大测试用例的答案

问题陈述 在数学中，二项式系数是在二项式定理中作为系数出现的一系列正整数。C（n，k）表示从n个不同对象中选择k个对象的方法的数量

然而，当n和k太大时，我们通常在通过素数p进行模运算后保存它们。请计算n在通过p模运算后有多少二项式系数变为0

输入 第一个输入是一个整数T，即测试用例数

下面的每一条T线都包含2个整数n和素数p

输出 对于每个测试用例，输出一行包含\tbinom NK的数量（0您的公式已关闭）

你在计算l*（p-t-1）

如果存在p^2、p^3等因子，则此公式不起作用。当l>p时，会出现这种情况（如果m也可能>p）

---

对于较小的数字，尝试n=10，p=3，看看我在说什么。你的计算会返回3个r值，其中10 C r mod 3=0，但实际上有7个。

你可以从另一端看：有多少

nCr

不能被

p

整除？有一个相当简单的公式

预备工作： 二项式系数

nCr

由下式给出

nCr = n! / (r! * (n-r)!)

因此

nCr

中

p

的多重性

v_p（nCr）

，

nCr

的素因子分解中

p

的指数为

v_p(nCr) = v_p(n!) - v_p(r!) - v_p((n-r)!)

n！

中

p

的多重性很容易确定，一种众所周知的计算方法是

v_p(n!) =  ∑ floor(n/p^k)
         k > 0

如果考虑到

n

的基本展开式-

p

，您可以看到

v_p(n!) = (n - σ_p(n)) / (p - 1)

其中，

σp（k）

是

k

表示的基-p的位数之和

v_p(nCr) = (n - σ_p(n) - r + σ_p(r) - (n-r) + σ_p(n-r)) / (p - 1)
         = (σ_p(r) + σ_p(n-r) - σ_p(n)) / (p - 1)

结论:

nCr

不可被素数

p

整除，当且仅当

r

和

n-r

的加法没有进位基

p

因为这正是

σu p（a+b）=σu p（a）+σu p（b）

的时候。当

a

和

b

的相应数字之和时，加法中的进位发生（如果已经为低有效数字生成进位，则可能加上进位）是

=p

，则总和中的相应数字减少

p

，下一个更有效的数字增加1，数字总和减少

p-1

我们有一个无进位加法

n=r+（n-r）

在base

p

中，如果对于

n

的base-

p

扩展中的每个数字

d_k

，则

r

的相应数字小于或等于

d_k

。r的数字的允许选择是独立的，因此总数是该数字的选择计数的乘积单个数字

nCr

不可被素数

p

整除的数量为

ND(n,p) = ∏(d_k + 1)

        m
n + 1 - ∏ (d_k + 1)
       k=0

其中

duk

是

n

的基

p

扩展中的数字

    m
n = ∑ d_k * p^k
   k=0

由于给定的

n

存在

n+1

（非零）二项式系数

nCr

，因此可被

p

整除的（非零）二项式系数

nCr

的数量为

ND(n,p) = ∏(d_k + 1)

        m
n + 1 - ∏ (d_k + 1)
       k=0

使用上述基础

p

扩展

n

使用

n=10

，

p=3

10 = 1*3^0 + 0*3^1 + 1*3^2

因此有

（1+1）*（0+1）*（1+1）=4

系数

10Cr

不能被3整除，而

10+1-4=7可以被3整除

def divisibleCoefficients(n,p):
    m, nondiv = n, 1
    while m > 0:
        nondiv = nondiv * ((m % p) + 1)
        m = m // p
    return (n + 1 - nondiv)

在我自己的第一次计算之后，我倾向于同意你的结果。我很好奇实际的公式是什么。我在发布之前试图弄清楚这一点，但没有。只需再次调用函数def fun1（a，b）：如果a>=b:j=0t=a%bl=a/bj=l*（b-t-1）返回j+（（t+1）*fun1（l，b））否则：返回0inp1=raw\u input（）N=int（inp1）result[]对于范围（N）中的i:inp=raw_input（）a，b=[long（x）for x in inp.split（“”）]j=fun1（a，b）#N=lp+t结果。对于范围（N）中的i追加（j）：打印结果[i]精彩的解释…你能给一些关于可除性、素数、pollards rho等的材料指点一下吗…顺便说一句，你刚才得到的结果是lucas理论的推论谢谢你的回答！我发现这篇论文，可能对某些人有用
def divisibleCoefficients(n,p):
    m, nondiv = n, 1
    while m > 0:
        nondiv = nondiv * ((m % p) + 1)
        m = m // p
    return (n + 1 - nondiv)