使用给定数据点在Python中拟合指数衰减函数

使用SciPy中的

curve\u fit

函数，我能够确定代表下图所示曲线的系数

def func2(t, tau):
    return np.exp(-t / tau)

t2 = np.linspace(0, 4, 50)
y2 = func2(t2, 1.2)

y2_noise = 0.2 * np.random.normal(size=t2.size)
y2_curve_noise = y2 + y2_noise

popt2, pcov2 = curve_fit(func2, t2, y2_curve_noise)

tau2, = popt2
y2_fit = func2(t2, tau2)

我想用一个类似的函数来表示一些数据点。但是，我无法使用这种方法来拟合如下所示的数据点

def func4(t, a, tau, c):
    return a * np.exp(-t / tau) + c

t4 = np.array([15445.1, 15445.6, 15446.1, 15446.6, 15447.1, 15447.6, 15448.1,
               15448.6, 15449.1, 15449.6, 15450.1, 15450.6, 15451.1, 15451.6,
               15452.1, 15452.6, 15453.1, 15453.6, 15454.1, 15454.6, 15455.1,
               15455.6, 15456.1, 15456.6, 15457.1, 15457.6, 15458.1, 15458.6,
               15459.1, 15459.6, 15460.1, 15460.6, 15461.1, 15461.6, 15462.1,
               15462.6, 15463.1, 15463.6, 15464.1, 15464.6, 15465.1, 15465.6,
               15466.1, 15466.6, 15467.1, 15467.6, 15468.1, 15468.6, 15469.1,
               15469.6, 15470.1, 15470.6, 15471.1, 15471.6, 15472.1, 15472.6,
               15473.1, 15473.6, 15474.1])

y4 = np.array([4.129, 4.125, 4.123, 4.121, 4.119, 4.118, 4.116, 4.115, 4.114,
               4.113, 4.112, 4.11, 4.11, 4.109, 4.108, 4.108, 4.106, 4.105,
               4.105, 4.104, 4.103, 4.102, 4.102, 4.101, 4.1, 4.1, 4.099,
               4.098, 4.098, 4.097, 4.097, 4.096, 4.095, 4.095, 4.094, 4.094,
               4.093, 4.092, 4.092, 4.091, 4.091, 4.09, 4.09, 4.089, 4.089,
               4.088, 4.088, 4.087, 4.087, 4.086, 4.086, 4.085, 4.085, 4.084,
               4.084, 4.084, 4.083, 4.083, 4.082])

popt4, pcov4 = curve_fit(func4, t4, y4, p0=(4.129, 1.2, 4.082))

a4, tau4, c4 = popt4
y4_fit = func4(t4, a4, tau4, c4)

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如何在SciPy中应用

曲线拟合

，以拟合数据点？或者我应该使用不同的曲线拟合方法？我也不确定初始猜测使用什么值

p0

。我只是根据数据选择了一些数字，但显然这对拟合没有帮助。

问题是，

exp（-15000）

必须通过荒谬的大值

a

来平衡，问题变得非常严重，因此优化例程失败

规范化

t

，使其从0变为1有助于解决缩放问题。合理的初始猜测可以是：tau为1，c为最小的y值，a为最大和最小的y值之差

t4_norm = (t4 - t4[0])/(t4[-1] - t4[0])   # normalized

c_0 = y4[-1]
tau_0 = 1
a_0 = (y4[0] - y4[-1])

popt4, pcov4 = curve_fit(func4, t4_norm, y4, p0=(a_0, tau_0, c_0))

a4, tau4, c4 = popt4
y4_fit = func4(t4_norm, a4, tau4, c4)
plt.plot(t4, y4, 'r.')
plt.plot(t4, y4_fit, 'b')
plt.show()

找到参数后，可以根据原始t重新计算参数。事实上，迄今为止获得的曲线是

y = a*exp(- (t4 - t4[0])/(t4[-1] - t4[0]) / tau) + c

可以重写为

y = a*exp(t4[0]/(t4[-1] - t4[0]) / tau) * exp(-t4/(t4[-1] - t4[0]) / tau) + c

这意味着原始变量的参数是

a_orig = a*exp(t4[0]/(t4[-1] - t4[0]) / tau)
tau_orig = (t4[-1] - t4[0]) * tau
c_orig = c

---

为了平衡取一个非常大数字的指数这一事实，我在等式中添加了一个

t0

项：

def func4(t, a, t0, tau, c):
    return a * np.exp(-(t-t0)/ tau) + c

# Initial guess
p0 = np.array([4.0, 15400., 6.e2, 0.], dtype=np.float64)
y4_initial = func4(t4, *p0)

# Fit
popt4, pcov4 = curve_fit(func4, t4, y4, p0=p0)
y4_fit = func4(t4, *popt4)

我要走了

popt4 = [1.20102494e+00 1.53854910e+04 1.91852716e+01 4.07136089e+00]

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问题在于，您将指数曲线拟合到具有高x值的数据，因此拟合不稳定，难以收敛。你能转换你的数据（例如拟合日志）吗？看看这些参数值是否正常：a=3.387836065347397E+164，c=4.041631845530607E+00，tau=4.0499652143081036E+01给我R平方：0.9858和RMSE=0.0015你是如何确定用于

p0

的初始值的，基于你试图适应的数据。您还可以使用

p0

绘制曲线，并在将其传递到拟合之前手动对其进行微调。当然，对于更复杂的系统，不建议这样做，因为您应该根据数据自动确定启动参数。通过这种方法，可以将曲线拟合应用于具有

np.exp（-t/tau）

作为拟合函数的数据吗？我在第一个例子中使用了这种形式的方程。（1）横轴的标准化与

+c

项无关，后者与纵轴有关；（2） 这对您的数据来说是不自然的。看，它在右边缘并没有真正变平，这意味着曲线有下降的空间，我们不知道有多远。另外，为什么不使用

a_0=y4[0]

而不是

a_0=（y4[0]-y4[-1]）

？因为如果区间[0,1]上的

f（t）=a*exp（-t）+c

，那么a可以表示为

E*（f（1）-f（0））

。所以这个猜测有正确的数量级。

a

的大小与y值的变化程度有关，而不是它们的大小。这进一步证实了您试图拟合的原始形式的方程对数据不起作用。你仍然可以手工计算这些系数，它们不适合双精度。