Python 浮点除法的一致性

众所周知，浮点值不能精确地表示每个十进制值。因此，1/3的浮点值并不完全是1/3。因此，直接比较浮点值通常是不可取的

然而，在这个应用程序中，我试图确定两个分数a/b和c/d是否相等。如果是，则存在整数e和f，使得

a*e=c*f

和

b*e=d*f

。假设a、b、c、d、e、f都是正整数，可以用浮点值精确表示

在实践中，简单地将

a/b

与

c/d

进行比较是可行的，但它能保证有效吗？Python和/或IEEE-754中是否有某种东西可以保证这样的方案工作？

示例代码（显示此方案适用于合理数量的值）：

---

如果不能保证这一点，是否存在一个反例，其值为a、b、c、d，使得a/b=c/d（在数学中），但Python无法比较

a/b==c/d

？同样，这些都是正整数，Python可以在其浮点值中精确表示。

好吧，我尝试了一些随机数，发现了这一点。但正如@user2357112所指出的，这更多地是由于测试的缺陷，而不是一个好的例子

把这个放在这里是为了证明事实

a = 653543435456556.0
b = 3.0

for c in range(1, 999):
    assert a / b == (a * c) / (b * c), (c, a / b - (a * c) / (b * c))

---------------------------------------------------------------------------
AssertionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-128-405615b37738> in <module>()
      2 b = 3.0
      3 for c in range(1, 999):
----> 4     assert a / b == (a * c) / (b * c), (c, a / b - (a * c) / (b * c))
      5 

AssertionError: (57, -0.03125)

a=65354354556.0
b=3.0
对于范围（1999）内的c：
断言a/b==（a*c）/（b*c），（c，a/b-（a*c）/（b*c））
---------------------------------------------------------------------------
AssertionError回溯（上次最近的调用）
在（）
2b=3.0
3表示范围（1999）内的c：
---->4断言a/b==（a*c）/（b*c），（c，a/b-（a*c）/（b*c））
5.
断言错误：（57，-0.03125）

IEEE 754除法的行为指定为计算除法的精确结果，然后对精确结果进行四舍五入。如果

a/b

和

c/d

在精确算法中具有相同的值，那么由于IEEE 754舍入是一致和确定的，

a/b

和

c/d

在IEEE 754浮点运算中必须具有相同的结果

但是，只有当

a/b

和

c/d

在精确算法中确实具有相同的值时，这一点才成立。

a

、

b

、

c

或

d

中的舍入错误会导致此问题。同样，反之亦然；如果浮点形式的

a/b==c/d

，这并不意味着

a/b

和

c/d

在精确算术上相等

---

与其处理浮点舍入，为什么不坚持整数呢

a*d == b*c

可以在未舍入整数算术中完成。或者，为什么不使用精确的rational类型呢

from fractions import Fraction

Fraction(a, b) == Fraction(c, d)

---

根据IEEE-754中的除法规范，如果a/b=c/d，则

a/b==c/d

，前提是

a/b==c/d

中的操作按照IEEE-754中的规定使用一种浮点格式进行评估。（Python不保证这一点；它继承了它在任何平台上实现的浮点行为，并且IEEE-754的行为没有得到普遍保证。）这是因为IEEE-754指定结果是精确的数学结果，四舍五入到最接近的可表示值（根据适用的四舍五入模式）。由于a/b和c/d的数学结果相同，因此计算结果相同

---

然而，

a/b==c/d

并不意味着a/b=c/d。一个反例是

1/（0x1p53-1）

和

1/（0x1p53-2）

都产生1.1102230246251567869426645496570095036651766508706967728770109715696889907216583251953125•10−16（十六进制浮点，0x1.0000000000001p-53）。

这不是唯一类型的计数器示例；你也可以认为a/b不等于c/d，但

a/b==c/d

。你的问题里面已经回答了你自己的问题。@Scott Hunter，说得好，误报也很有意思。然而，假阴性更令人感兴趣。这就是您要解决的问题：给定浮点值a、b、c和d，确定a/b在数学上是否等于c/d，而不受浮点运算的影响？但由于

a*c

中的舍入错误，这会失败。在舍入误差之后，分数在精确算术中的结果就不一样了。这与其说是划分不一致，不如说是提问者测试中的一个缺陷。

from fractions import Fraction

Fraction(a, b) == Fraction(c, d)