R 通过p数据点垂直于超平面的（所有）方向

我有一个简单的问题： 给定R^p中的p点（非共线），我找到经过这些点的超平面（为了帮助澄清，我在R中键入所有内容）：

给0。当p>2时，它不会

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以下是我试图实现Victor Liu的解决方案的尝试

a） 给定R^p中的p个线性独立观测值：

p<-2;x<-matrix(rnorm(p^2),p,p);x
      [,1]       [,2]
[1,] -0.4634923 -0.2978151
[2,]  1.0284040 -0.3165424

的确；该方向与应用维基百科公式给出的方向相同（使用x2=（0.4965321,0.6373157））：

…其优点是在更高的维度下工作

我还有最后一个问题：当p>2时，另一个p-1（这里是（1,0））QR向量的意义是什么？

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-提前感谢，

p-1维超平面由法向量和平面通过的点定义：

n.(x-x0) = 0

其中，

n

是长度p的法向量，

x0

是超平面通过的点，

是点积，平面上任何点的方程必须满足。我们也可以这样写

n.x = p

其中

p=n.x0

只是一个数字。这是一个超平面的更紧凑的表示，由（n，p）参数化。为了找到超平面，假设点是x1，…，xp。

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用p-1行和p列组成矩阵a，如下所示。对于所有i>1（其中只有p-1），p的行是xi-x1，作为行向量布置。如果p点不是如您所说的“共线”（它们需要是仿射独立的），那么矩阵A的秩为p-1，零空间维数为1。空空间中的一个向量是超平面的法向量。一旦找到它（称为n），然后

p=n.x1

。为了找到矩阵的零空间，您可以使用QR分解（有关详细信息，请参阅）。

@版主：将其标记为“删除我”。没有编程上下文。@Xencor:它被标记为几何体@莫多：我已经将它标记为几何和向量…也许我应该添加一个标记为“数学”…我不知道如何在“删除我”的顶部添加标记@Xencor:如果你解释一下你的确切意思，我会很乐意提供更多的“编程上下文”（只要我能保持文章简短且不阻塞）@Xencor：投票关闭或标记以引起版主注意，但不要滥用标签编辑权限。嗨，维克托；我在找一个p维超平面。我有p个点（线性无关）。我使用的公式（适用于p=2）是（AA'+bb'）^-1bb'，可以在wiki页面的“计算曲面法线”下找到（请参阅文章中的链接）。谢谢。我会尝试在问题的结尾用编程的形式重写你的答案，这样a）其他数学能力较弱的人可以使用它b）你确保这是你的意思。谢谢，当p>2时，我仍然对这个解决方案有问题。之间的点积

p<-2;x<-matrix(rnorm(p^2),p,p);x
      [,1]       [,2]
[1,] -0.4634923 -0.2978151
[2,]  1.0284040 -0.3165424

a0<-sweep(x,2,x[1,],FUN="-");a0
        [,1]        [,2]
[1,] 0.000000  0.00000000
[2,] 1.491896 -0.01872726

qr(a0)
          [,1]       [,2]
[1,] -1.491896 0.01872726
[2,]  1.000000 0.00000000

       [,1]
[1,]  2.04694853
[2,] -0.02569464

n.(x-x0) = 0

n.x = p