R 为什么cholesky分解不能给出与简单求逆矩阵相同的结果？ 设置以重现我的最小工作示例

我有下面的矩阵

K <- matrix(c(1.250000e+00, 3.366892e-07, 4.641930e-10, 1.455736e-08, 1.049863e-06, 
              3.366892e-07, 1.250000e+00, 5.482775e-01, 8.606555e-01, 9.776887e-01,
              4.641930e-10, 5.482775e-01, 1.250000e+00, 8.603413e-01, 4.246732e-01,
              1.455736e-08, 8.606555e-01, 8.603413e-01, 1.250000e+00, 7.490100e-01,
              1.049863e-06, 9.776887e-01, 4.246732e-01, 7.490100e-01, 1.250000e+00), nrow=5)

Cholesky分解-失败 然而，“聪明”的方法失败了。我使用cholesky分解，它给了我一个上三角矩阵。然后我通过向后代换求解系统

lz=y

，通过向前代换求解系统

lt x=L^{-1}y

L <- chol(K)  ## upper triangular
forwardsolve(t(L), backsolve(L, y))

---

发生了什么事？这个矩阵

K

和这个向量'y'只是一个例子。它发生在许多其他类似的向量和矩阵上。为什么？

这只是部分答案，但总比什么都没有好。基本上，找到K^{-1}y相当于求解以下系统

用cholesky分解来写这个

基本上我们现在把<代码> Lz <代码>作为我们的变量，称之为代码> x< /代码>

forwardsolve(t(L), y)

由于

L

是上三角形，它的转置是下三角形，所以我们可以使用

forwardsolve

来查找

x

forwardsolve(t(L), y)

一旦我们找到了

x

，我们就可以记住它的意思，即

这样我们就可以使用'backsolve

来查找

z`

backsolve(L, forwardsolve(t(L), y))

---

这就给出了正确的答案。不确定为什么相反的方法也不起作用。

关键是，当取一个乘积的倒数时，必须将倒数的乘积倒数：

solve(A %*% B) = solve(B) %*% solve(A)

在这个问题上，顺序没有颠倒

如果

R=chol（K）

我们使用

R

强调它是右上三角形，那么：

solve(K, y)
= solve(t(R) %*% R, y)   since K = t(R) %*% R
= solve(t(R) %*% R) %*% y
= solve(R) %*% solve(t(R)) %*% y  note that we have reversed the order
= solve(R) %*% solve(t(R), y)
= backsolve(R, forwardsolve(t(R), y))

在最后一行中，我们使用了一个事实，即R的转置是左下三角形，

forwardsolve

适用于此类矩阵，而

backsolve

适用于右上三角形矩阵

我们可以检查这是否给出了与使用

solve

direclty相同的答案：

R = chol(K)
all.equal(backsolve(R, forwardsolve(t(R), y)), solve(K, y))
# [1] TRUE

---

也许

chol2inv（chol（K））%*%y

？@Matt难以置信，这给出了一个与两者不同的答案<代码>[，1][1，]39.138913[2，]-14.385526[3，]-5.993738[4，]27.188652[5，]6.766934@Matt我想有人也有类似的问题，但没有人真正能够回答

chol2inv（chol（K））%*%y

给我的结果是

solve（K）%*%y

。看@Matt，没错，同样的结果！您知道chol2inv是否应该优先于使用forwardsolve和backsolve解决系统问题吗？

solve(A %*% B) = solve(B) %*% solve(A)

solve(K, y)
= solve(t(R) %*% R, y)   since K = t(R) %*% R
= solve(t(R) %*% R) %*% y
= solve(R) %*% solve(t(R)) %*% y  note that we have reversed the order
= solve(R) %*% solve(t(R), y)
= backsolve(R, forwardsolve(t(R), y))

R = chol(K)
all.equal(backsolve(R, forwardsolve(t(R), y)), solve(K, y))
# [1] TRUE