Recursion 递归可以是动态规划吗？

我被要求使用动态规划来解决一个问题。关于什么是动态规划，我有不同的看法。我认为这需要一种“自下而上”的方法，即首先解决最小的问题

有一件事我有矛盾的信息，那就是如果同一个子问题被多次解决，是否可以是动态规划，就像递归中经常出现的情况一样

比如说。对于斐波那契，我可以有一个递归算法：

RecursiveFibonacci(n)
if (n=1 or n=2)
    return 1
else
    return RecursiveFibonacci(n-1) + RecursiveFibonacci(n-2)

在这种情况下，相同的子问题可能会被反复解决。这是否表明它不是动态规划？也就是说，如果我想要动态规划，我是否必须避免解决子问题，例如使用长度为n的数组并存储每个子问题的解决方案（数组的第一个索引是1、1、2、3、5、8、13、21）

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动态程序通常可以用递归公式简洁地描述

但是，如果你用简单的递归计算机程序来实现它们，这些程序往往效率低下，原因正是你提出的：重复同样的计算。斐波那契是一个重复计算的例子，尽管它不是一个动态程序

有两种方法可以避免重复

回忆录。这里的想法是将为每组参数计算的答案缓存到递归函数中，并在存在时返回缓存的值

自下而上的桌子。在这里，您可以“展开”递归，以便将级别小于i的结果与级别i的结果相结合。这通常被描述为填写表格，其中级别为行

这些方法之一适用于任何DP算法。如果重复计算，则该算法不是DP。因此，您的问题的答案是“是”。

举个例子。。。让我们尝试一下，如果你有价值v_1，v_2。。。v_n，使用最少数量的硬币

设N（c）为制造c美分所需的最小硬币数。然后给出了一个递归公式

N(c) = 1 + min_{i = 1..n} N(c - v_i) 

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基本情况是N（0）=0和N（k）=inf，对于k我们认为一个问题的动态规划方法是可行的

重叠子问题

最优子结构

简单地说，我们可以说动态规划有两个方面，它们是自顶向下和自下而上的方法

在您的例子中，如果您谈论的是递归，那么这是一种自上而下的方法。

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在自上而下的方法中，我们将尝试编写一个递归解决方案或蛮力解决方案并记忆结果，以便在出现类似子问题时尝试使用该结果，因此它是蛮力+记忆化。我们可以通过一个简单的递归关系实现暴力方法。

谢谢Gene。因此，为了澄清定义（这就是我真正想要的：o）），即使使用递归算法，同样的问题可能会一次又一次地被解决，这是低效的，它仍然算作动态规划吗，仅仅因为较大的问题首先被分解成较小的问题？@user2808302不。我从来没有见过这样的术语。动态程序或DP算法的基本假设是，子问题只需求解一次即可得到较大的问题解。当用递归公式描述它时，意味着记忆化或自底向上的表构造。

N(c) = 1 + min_{i = 1..n} N(c - v_i)