Time complexity 这个递归斐波那契的大O时间复杂度？

我有一个程序，使用递归打印斐波那契数列。有更好的方法，但我被要求使用递归，所以我不得不这样做

节目如下：

#include <stdio.h>
#define TERMS 10

long fibo(int);

int main(void){
   for(int i = 1; i <= TERMS; i++) {
       printf("%ld", fibo(i));
   }
   return 0;
}

long fibo(int n){
    if (n < 3) {
        return 1;
    }
    else {
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
    }
}

#包括
#定义术语10
长fibo（int）；
内部主（空）{
对于（int i=1；i
c（fibo（n））=c（fibo（n-1））+c（fibo（n-2））+O（1）

请注意，由于所有计算分支始终以值为1的叶结束，因此精确（θ）复杂性可以通过斐波那契级数本身的闭合公式精确计算，因此复杂性遵循级数的精确公式


但这超出了你的问题范围，我们需要注意的是

c（fibo（n））<2*c（fibo（n-1））

我们现在所需要的就是求解由

an=2*an-1（a1,2=1）

导致

an=2^n

所以，你得到了你想要的2^n的上界O

如果你运行几次，你会得到

σ（c（fib（n））从1到项=O（2^（项+1）-1）

这是一个简单的数学事实，这意味着在你的情况下（术语=10），你得到

2^11-1=2047


至于你的问题，关于一个更好的方法来做这个递归

int fib(int n, int val = 1, int prev = 0)
{
    if (n == 0) {
        return prev;
    }
    if (n == 1) {
        return val;
    }
    return fib(n - 1, val + prev, val);
}

这就是所谓的尾部递归，取O（n）（事实上，一个好的编译器可以将其优化为一个循环，然后还将消耗恒定的内存消耗）
一般来说，它背后有数学基础，斐波那契解释如下：

如果你不需要证明它，只需要正确地写下来，你只需要考虑算法的行为以及某个数字的重复次数，然后你就可以尝试将它推广到任何输入
n

纸是你的朋友

如果在递归中有值为“10”的斐波那契，基本上就是说（10的斐波那契是9的斐波那契+8的斐波那契）

然后对于斐波那契9，你说-它是斐波那契8+斐波那契7等等

您可以绘制图形：


我认为很明显，它将继续成为一个几乎完整的二叉树。你可以看到，对于每一个级别，节点的数量都是原来的两倍，因此对于
fib（10）
，它将在底部重复10次，几乎
2^10
，因此对于
fib（n）
它将是
2^n

如何使其在递归alghoritm中有效？从图中可以看出，fib（7）被解了三次。因此，一旦计算出fib（n），就必须记住它。它可以是全局变量，也可以通过递归调用传递对对象的引用

然后你不只是说“fib（n-1）和fib（n-2）”，你首先看“fib（n-1）计数了吗？”如果是这样，用计算值代替递归。
产生斐波那契数列的递归函数生成一个高度为n的二叉树。假设我们取n=5。那么树结构如下：


在最底层，我们将得到大约2^n个节点，因此时间复杂度将在O（2^n）左右，因为递归将对每个叶节点重复

我们可以通过使用内存化的动态编程方法大大改进这一点，它基本上是将重复的子问题（如示例中的
fib（2）
或
fib（3）
）存储在某种查找表中。这将时间复杂度降低到O（n）。
我认为递归Fibbonaci大约是O（n^6）正如直接计算所示，它的最高项是n^6，但我无法检查。可能是从哪里得到n^6的重复项？！它是指数的，因为计算所需的时间与值一样长（所有递归分支都以值为1的叶子结束），我认为是从比奈的公式：）@DragonthoughtsPlease重新格式化。它一点也不好看，也不容易理解。而且我想要它是为了完整的程序，而不仅仅是fibo（n），因为它位于另一个循环中，用于其他用途？如果在特斯拉GPU上运行，您是否希望我计算以卡路里为单位的功耗？您应该在我要求完整程序时阅读这个问题。不仅仅是fibo（n）。我从未要求从1到n的sigma（2^n）是2^（n+1）-1，因此总数是2^11-1