Big o 你如何证明一种语言在P类中？

我有两种语言：

A = { <M, w> | M accepts w after running for at most 2^500 steps }
B = { <M, w, 1^t> | M accepts w after running for at most t steps }

A={M在运行最多2^500步后接受w}
B={| M在运行最多t步后接受w}

我需要弄清楚这些语言是否在类p中。如果一种语言在多时间内运行，我知道它在类p中。我很确定语言A是以指数时间运行的，但我不确定像2^500这样的常数是否会使它变成多边形时间

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感谢您的帮助，谢谢

算法时间表示为输入大小的函数。如果，对于任何输入，A需要2^500步，那么它实际上是常数时间（无论输入什么，运行时间都是常数），这肯定是P

B采取t步，其中t可能是输入的大小，因此它是线性时间（时间随输入大小线性增加），也就是p

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例如，如果您遇到需要2^t步或t！（阶乘）步骤，则不在P中。查找大O符号

一种语言在P中，如果存在一种算法，可以确定给定输入是否属于该语言并在多项式时间内运行。多项式时间，意味着您可以在输入长度中找到多项式函数的上界

要解决您的示例，请执行以下操作：

定义算法

AL₁作为：

对于元素
运行
M（w）

因为
M（w）
最多取一个常量
c=2⁵⁰⁰步骤，
AL的复杂性₁
由一个常数限定，该常数是多项式<代码>AL₁ ∈ O（1）
。所以
A
在P中

定义算法

AL₂作为：

对于元素
运行
M（w，1t）

由于
M（w，1t）
最多需要
t
步数，我们必须将输入长度和
t
放在一起。请注意，输入由
w
和
1t
组成
1t
表示数字
t
输入为一元数（例如1⁵ = 11111₁ = 5.₁₀). 这对于输入长度很重要，例如
1²的长度⁵⁶
是
256
，但
256的长度=2⁸仅为
8=log₂（256）
二进制格式。
因此，输入长度为
len（w）+t
和
AL₂ ∈ O（t）
成立。因此
AL的复杂性₂
也由多项式限定，因此语言
B
位于P中

让我加一个例子来说明一元和其他数字系统之间的区别是多么重要

C = { <M, w, t> | M accepts w after running for at most t steps }

C={| M在运行最多t个步骤后接受w}

C

基本上类似于

B

，但是

t

不是一元数字系统，因此

t

的长度是

logc（t）

。对数的基础

C

并不重要，因为它只会产生一个常数因子

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输入长度现在是

len（w）+log（t）

，因此

O（t）

不是输入长度中必需的多项式。假设

len（w）

是一个常量（为了简化），那么

t=clogc（t）

在输入长度上是指数型的，因此

C

不在P

中。一些文本被解释为标记。我对问题进行了编辑，以使其正确显示。更正后的标记会使您的答案的某些部分无效，因为您对答案的外观做出了错误的假设；您可能希望这样做解决这个问题。我重新检查了它，我不确定它在哪里与问题不匹配，它仍然说A需要2^500步，B需要t步，虽然现在它说1^t代表B…不确定这意味着什么，因为1^x代表任何x，但可能我误解了符号。语言A是所有对的集合

，其中

m

描述了A在输入时停止的图灵机，最多只需2^500步。问题在于图灵机能否在多项式时间内决定输入是否是这样的一对，而不是M是否在多项式时间内停止。B的问题类似。用另一个图灵机模拟图灵机有开销；我不认为你'我们对此进行了解释。它不会改变语言是否在P中，但会稍微改变分析。@user2357112您是对的。但是有一些不同的方法来定义语言。在大多数情况下，我看到，图灵机不是语言中元素的一部分。所以我决定使用包含该机器的整个元素并添加了一个外部图灵机。我认为可能会有许多不同的图灵机

M

，因此，如果我不使用新的图灵机，则可能需要为语言中的每个元素使用不同的图灵机。但是，如果这是个问题，我使用的方法可以解决问题：）