Algorithm 确定三角形内部点的凸包算法

我有一个双色集合

S

，在平面一般位置有红色和绿色点（S的三个点不共线）。红色三角形的三个顶点都是S的红色点。如果

p

位于三角形内部，则S的绿色点

p

称为被红色三角形包围

我应该做一个算法，找到三角形内的所有绿点。 在看到一些在线资源后，我尝试制作自己的算法，例如：

这是我的“解决方案”：

我不知道这个算法是否有效。 它的运行时间是

n^3

。另外，我不确定我是否可以说

获取所有三角形

。 这个算法，我应该创建应该是最有效的一个我可以想出，所以请任何其他的解决方案或建议是欢迎的

如果所有可能的三角形（所有可能的三个红色点选项），您可以做得更简单：

Create the convex hull (CH) of the red points.
Check each of the green points is in the CH or not.
    If it is, there is a red triangle that contains that point.
    If it is not, there is no red triangle that contains the point.

---

创建

N

红点的凸包在

O（N log（N））

中，可以在

O（log（N））

中检查凸多边形内的点。因此，如果绿点的数量为

M

，则上述算法的总复杂度为

O（（M+N）log（N））

让我们从问题中显示的图像开始。它显示不属于三角形的红点。而文本并没有给出具体的含义。所以在我的回答中，我忽略了它们

这将问题转化为：

给定一组（绿色）点和一组三角形，报告任何三角形内的所有点。

我希望这就是你想要的

根据默菲定律，在每个小问题的背后都潜藏着一堆更大的问题，它们在努力摆脱困境。这里，第一个更大的问题是，如何测试一个点是否在三角形内。维基、谷歌等都表明，有各种各样的解决方案。对于给定的问题，我认为重心坐标系方法是一个好的（最好的）候选，因为我们必须对每个点进行重新测试，并且该方法允许计算每个三角形的一组参数，然后在每个点测试中重复使用。 第二个问题是，在给定K个绿点和N个三角形的情况下，在执行的测试数量方面，我们是否能比naive方法做得更好

• 天真：

  #Tests=N*K

  （针对所有三角形测试每个点）。（我看不出O（N^3）是怎么来的，但问题的作者没有说N是什么）

• 改进：尝试找到一种只针对三角形子集测试点的方法。子集是“可能”的三角形：

  #Tests=K*N'

  其中

  N'

  希望小于或等于

  N

  <代码>K在这里没有变化-毕竟我们需要查看每个点

因此，我提出一种扫描线算法作为（潜在）改进的解决方案： 查看问题中的图像，想象一条垂直线从左向右移动到图片上方，移动到下一个绿点。
现在，根据垂直扫描线在给定时刻的位置，只有与扫描线相交的三角形才是扫描线所在点命中测试的候选。这是我们要测试点的三角形子集

为了实现扫描线算法，我们需要先进行一些重新排序

• 按x坐标以升序对所有绿点进行排序。（O（K logk））
• 按x升序对每个三角形的所有三角形顶点进行排序
• 按三角形最左侧点的x坐标对所有三角形进行排序。（O（N logn））

然后，对于每个绿点P： *放下所有完全在P左边的剩余三角形。 *选择所有剩余三角形，这些三角形从P的左侧开始但不结束。 （开放三角形） *对每个开放三角形测试P。 如果P包含在任何一个开放三角形中，则P是包含的。 虽然它比我预期的要长一点，但下面是我用大家最喜欢的语言Haskell实现的原型：

导入数据。列表
--虽然颜色是问题的一部分，但在解决方案中它们并没有真正的用途。
--数据颜色=红色|绿色衍生（显示，等式）
--数据顶点=顶点{loc:：Point，col:：Color}派生（显示，Eq）
数据点=点{x:：Float，y:：Float}派生（显示，等式）
数据三角形=三角形[点]导出（显示，等式）
数据重臂=重臂
{dt:：Float——行列式。
，dy23:：Float
，dx32:：Float
，dy31:：Float
，dx13:：Float
，x3：：浮点数
，y3:：Float
}推导（显示，等式）
--从三角形中获取点列表。当然，这个列表的长度总是3。
三点：：三角形->[点]
三点（三角形ps）=ps
--我们做一些排序（三角形和点），这是我们的
--排序（在点的x坐标上从左到右。）
leftToRight:：点->点->排序
左向右p1 p2
|x p1三角形
LTR三角形（三角形点）=三角形$LTR排序点
--计算一个点相对于
--给定三角形的bary参数。
toBaryCoords:：BaryParts->Point->（浮动，浮动，浮动）
烟草合作社=
（l1、l2、l3）
哪里
l1=（dy23 bp*（xP-x3 bp）+（dx32 bp*（y p-y3 bp））/dt bp
l2=（DY31bp*（xp-x3bp）+（dx13bp*（yp-y3bp））/dtbp
l3=1-l1-l2
--预先计算一些我们需要的值
Create the convex hull (CH) of the red points.
Check each of the green points is in the CH or not.
    If it is, there is a red triangle that contains that point.
    If it is not, there is no red triangle that contains the point.

Then, for each green point P:
        * drop all of the remaining triangles which are entirely to the left of P.
        * select all of the remaining triangles, which start but do not end to the left of P. 
          (open triangles)
        * test P against each of the open triangles. 
          P is contained if it is contained in any of those open triangles.