Algorithm 确定同余系是否有解

有一个线性同余系统，我想确定它是否有解。使用简单的算法来解决这样的系统是不可能的，因为答案可能呈指数增长

我的一个假设是，如果一个同余系统没有解，那么其中有两个相互矛盾。我不知道这是否成立，如果成立的话，这将导致一个简单的O（n^2 logn）算法，因为检查一对同余是否有解需要O（logn）时间。然而，对于这个问题，我宁愿看到更接近O（n）的东西

---

我们可以假设没有模量超过10^6，特别是我们可以快速地将它们全部因子化。我们甚至可以进一步假设所有模的总和不超过10^6（但是，它们的乘积可能是巨大的）。

正如您所怀疑的，有一种相当简单的方法可以确定同余集是否有解，而不需要实际构建该解。您需要：

如有必要，将每个同余减少为

x=a（mod n）

；从评论中，听起来好像你已经有了这个

将每个模分解为素数幂的乘积：

n=p1^e1*p2^e2*…*pk^ek

将每个同余

x=a（mod n）

替换为一组同余

x=a（mod pi^ei）

，步骤2中找到的

k

素数幂对应一个同余

现在，独立地检查每个素数的兼容性就足够了：给定任意两个同余

x=a（mod p^e）

和

x=b（mod p^f）

，它们是兼容的当且仅当

a=b（mod p^（min（e，f））

。确定兼容性后，您可以丢弃模较小的同余，而不会丢失任何信息

有了正确的数据结构，您可以在一次通过同余点的过程中完成所有这一切：对于遇到的每个素数

p

，您需要跟踪到目前为止发现的最大指数

e

，以及相应的右侧（为了方便起见，减少模

p^e

）。运行时间可能主要由模分解决定，但如果没有模超过

10^6

，则也可以通过从

1..10^6

范围内的每个整数预构建到其最小素数因子的映射来加快这一步

---

编辑：由于这应该是一个编程站点，这里有一些（Python 3）代码来说明上述内容。（对于Python 2，将

range

调用替换为

xrange

，以提高效率。）

---

最后一点注意：在上面，我们利用了模很小的事实，因此计算素数幂因子并不是什么大问题。但是如果你确实需要对更大的模（数百或数千位）这样做，它仍然是可行的。你可以跳过因子分解步骤，而是找到一个“互质基”对于模集合：即成对相对素数正整数的集合，这样同余中出现的每个模都可以表示为乘积（可能有重复）集合中的元素。现在按照上面的步骤进行，但要参考互质基，而不是素数和素数幂的集合。请参见Daniel Bernstein提供的计算一组正整数的互质基的有效方法。您可能会在列表中进行两次遍历：一次计算互质基，另一次d来检查一致性。

这似乎是math.stackexchange.com的一个问题。不过，你的假设是有效的：如果一致性是成对一致的，那么它们是相互一致的。你需要这一点来计算什么大小的模？我们是否处于将这些模分解为素数幂非常容易的范围内（例如，所有的模量都小于2**32），或者这必须对更大的模量起作用吗？你能提供一个简短的证据来证明为什么这个假设是正确的吗？我把我的问题放在这里是因为唯一阻止我用O（n log n）来解它的东西事实上，存储部分解可能会超过可用内存，所以这不是一个真正的数学问题。将其分解为素数幂：根据中国剩余定理，同余是相互一致的，如果它们是模的素数幂块的相互一致模，对于每个相关素数，这就简化为这种情况其中所有模都是一个素数的幂。在这种情况下，当它们都与包含最大模的同余一致时，它们是相互一致的。证据应该可以在网上的某个地方找到；到目前为止，我发现最好的是第5页，我想通过同余可能是O（m log n）其中m是同余数，n是最大模，因为n最多可以有O（logn）个不同的素因子。这就是我需要的，谢谢！是的，如果你不考虑因子分解的成本，

O（mlogn）

听起来不错。

def prime_power_factorisation(n):
    """Brain-dead factorisation routine, for illustration purposes only."""
    # DO NOT USE FOR LARGE n!
    while n > 1:
        p, pe = next(d for d in range(2, n+1) if n % d == 0), 1
        while n % p == 0:
            n, pe = n // p, pe*p
        yield p, pe


def compatible(old_ppc, new_ppc):
    """Determine whether two prime power congruences (with the same
    prime) are compatible."""
    m, a = old_ppc
    n, b = new_ppc
    return (a - b) % min(m, n) == 0


def are_congruences_solvable(moduli, right_hand_sides):
    """Determine whether the given congruences have a common solution."""

    # prime_power_congruences is a dictionary mapping each prime encountered
    # so far to a pair (prime power modulus, right-hand side).

    prime_power_congruences = {}
    for m, a in zip(moduli, right_hand_sides):
        for p, pe in prime_power_factorisation(m):
            # new prime-power congruence: modulus, rhs
            new_ppc = pe, a % pe
            if p in prime_power_congruences:
                old_ppc = prime_power_congruences[p]
                if not compatible(new_ppc, old_ppc):
                    return False
                # Keep the one with bigger exponent.
                prime_power_congruences[p] = max(new_ppc, old_ppc)
            else:
                prime_power_congruences[p] = new_ppc
    # If we got this far, there are no incompatibilities, and
    # the congruences have a mutual solution.
    return True