Algorithm 如何应对垂直杆挑战？

这个问题来源于

给定整数数组Y=y1，…，yn，我们有n条线段 线段i的端点为（i，0）和（i，yi）。想象一下，从 在每一段的顶部，一条水平光线被投射到左侧，而这条光线 当它接触到另一段或碰到y轴时停止。我们 构造一个由n个整数v1，…，vn组成的数组，其中vi等于 从段i顶部拍摄的射线长度。我们定义V（y1，…，yn） =v1+…+越南

例如，如果我们有Y=[3,2,5,3,3,4,1,2]，那么v1，…，v8= [1,1,3,1,1,3,1,2]，如下图所示：

对于[1，…，n]的每个置换p，我们可以计算V（yp1。。。， ypn）。如果我们选择[1，…，n]的一致随机排列p，那是什么 V（yp1，…，ypn）的预期值是多少

输入格式

6
3
1 2 3
3
3 3 3
3
2 2 3
4
10 2 4 4
5
10 10 10 5 10
6
1 2 3 4 5 6

4.33
3.00
4.00
6.00
5.80
11.15

---

输入的第一行包含一个整数T（1，正如您正确指出的，我们可以独立地解决每个棒的问题

设F（i，len）是排列数，来自棒i的光线正好是len。
那么答案是

（总和（由i，len）F（i，len）*len）/（n！）

剩下的就是计算F（i，len），设a（i）为棒数j，即y_jb_i

为了得到长度为len的光线，我们需要这样的情况

B, l...l, O  
   len-1 times

式中，O-表示棍子，i.B-表示棍子的长度较大，或开头较大。l-表示棍子的高度，小于ith

这给了我们两种情况：
1） B是开始，这可以通过

P（a（i），len-1）*（B（i）+a（i）-（len-1））实现方式。

2） B是更大的棒，这可以通过
P（a（i），len-1）*B（i）*（B（i）+a（i）-len）实现*（n-len）
方式

编辑：在（mul）中将b（i）改为第二项，以代替案例2中的a（i）。
如您所知，我们可以独立解决每个斗杆的问题

设F（i，len）是排列数，来自棒i的光线正好是len。

那么答案是

（总和（由i，len）F（i，len）*len）/（n！）

剩下的就是数F（i，len）。设a（i）为棒数j，即y_jb_i

为了得到长度为len的光线，我们需要这样的情况

B, l...l, O  
   len-1 times

其中O-是stick#i。B-是指长度较大的棍子，或是开头较大的棍子。l-是指粘着高度，小于ith

这给了我们两种情况：

1） B是开始，这可以通过
P（a（i），len-1）*（B（i）+a（i）-（len-1））实现方式。

2） B是更大的棒，这可以通过
P（a（i），len-1）*B（i）*（B（i）+a（i）-len）实现*（n-len）
方式

编辑：在（mul）中将b（i）改为第二项，以代替案例2中的a（i）。
我们可以通过以下方法解决此问题：

如果将第k个杆置于第i个位置，则该杆的预期射线长度是多少

然后，将所有位置的所有杆的所有预期长度相加，即可解决该问题

设
expected[k][i]
为放入第i个位置的第k个棒的预期射线长度，设
num[k][i][length]
为放入第i个位置的第k个棒的射线长度等于
length
的排列数，然后

expected[k][i]=sum（num[k][i][length]*length）/N

如何计算
num[k][i][length]
？例如，对于<代码>长度＝3 < /代码>，请考虑下面的图表：

…GxxxI

其中，
I
是位置，3'x'表示我们需要3根比
I
严格低的棍子，
G
表示我们需要至少与
I
一样高的棍子。
假设
s_i
是小于
k
th的棍棒数，
g_i
是大于或等于
k
th棍棒数的棍棒数，那么我们可以选择
g_i
中的任何一个将其置于
g
位置，我们可以选择
s_i
的任何
length
来填充
x
位置，因此我们有：

num[k][i][length]=p（s_i，length）*g_i*p（n-length-1-1）

如果
I
之前的所有位置都小于
I
，我们不需要更大的
G
，即
xxxI….
，我们有：

num[k][i][length]=p（s_i，length）*p（n-length-1）

这里有一段Python代码可以解决这个问题：

def solve(n, ys):
    ret = 0
    for y_i in ys:
        s_i = len(filter(lambda x: x < y_i, ys))
        g_i = len(filter(lambda x: x >= y_i, ys)) - 1

        for i in range(n):
            for length in range(1, i+1):
                if length == i:
                    t_ret = combination[s_i][length] * factorial[length] * factorial[ n - length - 1 ] 
                else:
                    t_ret = combination[s_i][length] * factorial[length] * g_i * factorial[ n - length - 1 - 1 ]
                ret += t_ret * length

    return ret * 1.0 / factorial[n] + n

def solve（n，ys）：
ret=0
对于y_i in ys：
s_i=len（滤波器（λx:x=y_i，ys））-1
对于范围（n）中的i：
对于范围（1，i+1）中的长度：
如果长度==i：
t_ret=组合[s_i][length]*阶乘[length]*阶乘[n-长度-1]
其他：
t_ret=组合[s_i][length]*阶乘[length]*g_i*阶乘[n-长度-1-1]
ret+=t_ret*长度
返回ret*1.0/阶乘[n]+n
我们可以通过以下方法解决此问题：

如果将第k个杆置于第i个位置，则该杆的预期射线长度是多少

然后，将所有位置的所有杆的所有预期长度相加，即可解决该问题

设
expected[k][i]
为放入第i个位置的第k个棒的预期射线长度，设
num[k][i][length]
为放入第i个位置的第k个棒的射线长度等于
length
的排列数，然后

expected[k][i]=sum（num[k][i][length]*length）/N

如何计算
num[k][i][length]
？例如，对于<代码>长度＝3 < /代码>，请考虑下面的图表：

…GxxxI

其中，
I
是位置，3'x'表示我们需要3根比
I
严格低的棍子，
G
表示我们需要至少与
I
一样高的棍子。
设
s_i
为小于
k> V(c(1,2,3))
[1] 4.333333
> V(c(3,3,3))
[1] 3
> V(c(2,2,3))
[1] 4
> V(c(10,2,4,4))
[1] 6
> V(c(10,10,10,5,10))
[1] 5.8
> V(c(1,2,3,4,5,6))
[1] 11.15