Algorithm 如何证明MST上总是存在一条完全极小极大路径

在无向图中，A是两个顶点v，w之间的路径，它使路径上边的最大权重最小化

设T是给定图G=（V，E）的最小生成树。我如何证明，对于v中的任何一对顶点v，w，在v和w之间总是存在一条完全在T上的极大极小路径

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我试图假设T上没有完全的极大极小路径，但我不知道如何得到一个矛盾。

假设在最小生成树之外有一条极大极小路径，它比最小生成树上的路径更好。从树中删除最小生成树路径上代价最高的边，将图拆分为两个连接的组件。您可以使用minimax路径从一个组件到另一个组件。沿着此路径行进时，必须有一条边离开其中一个组件并进入另一个组件。将此边添加到最小生成树。图现在再次连接，最小生成树的总代价降低了，因为极小极大路径上的每条边的代价都小于最小生成树上代价最高的边的代价。所以我们有一个矛盾，不可能存在这样的极小极大路径。

假设在顶点u和v之间存在一个极小极大路径p，它不完全在最小生成树T上

这意味着p中有一条边A（p，q），而T中没有

设Q是T中从p到Q的路径

设B为Q中权重最大的边（在成像图中，边的长度表示其权重）：

T以绿色标记
P=（u，P，q，v）

现在需要考虑两个条件：

权重（B）>权重（A）：在这种情况下，T不是最小生成树。如果你从T中删除B并添加A，你仍然会有一个生成树，但是它的总重量会减少。由于这是一个矛盾（T被认为是一个最小生成树），所以剩下的唯一可能性是：

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权重（B）如果图实际上不是完全连通的，最小生成树是否存在？如果它已连接，则可以断定至少有一条路径。如果有多条路径，则1条或多条路径可以具有最小成本。o，但该路径不是简单路径，而是最小-最大路径。